ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 14.31 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а)

$$\sqrt{\frac{1 + \cos t}{1 — \cos t}} + \sqrt{\frac{1 — \cos t}{1 + \cos t}} + \frac{2}{\sin t}, \text{ если } 3\pi < t < \frac{7\pi}{2};$$

б)

$$\sqrt{\frac{1 — \sin t}{1 + \sin t}} + \operatorname{tg} t, \text{ если } 2\pi < t < \frac{5\pi}{2}.$$

Упростить выражение:

а)

$$\sqrt{\frac{1 + \cos t}{1 — \cos t}} + \sqrt{\frac{1 — \cos t}{1 + \cos t}} + \frac{2}{\sin t} = \sqrt{\frac{(1 + \cos t)^2}{1 — \cos^2 t}} + \sqrt{\frac{(1 — \cos t)^2}{1 — \cos^2 t}} + \frac{2}{\sin t} =$$ $$= \sqrt{\frac{(1 + \cos t)^2}{\sin^2 t}} + \sqrt{\frac{(1 — \cos t)^2}{\sin^2 t}} + \frac{2}{\sin t} = \left| \frac{1 + \cos t}{\sin t} \right| + \left| \frac{1 — \cos t}{\sin t} \right| + \frac{2}{\sin t} =$$ $$= -\frac{1 + \cos t}{\sin t} — \frac{1 — \cos t}{\sin t} + \frac{2}{\sin t} = -\frac{2}{\sin t} + \frac{2}{\sin t} = 0;$$

Точка $t$ принадлежит третьей четверти:

$$3\pi < t < \frac{7\pi}{2} \quad \Rightarrow \quad \pi < t < \frac{3\pi}{2};$$ $$-1 \leq \sin t \leq 0;$$ $$-1 \leq \cos t \leq 0;$$

Ответ: $0$.

б)

$$\sqrt{\frac{1 — \sin t}{1 + \sin t}} + \operatorname{tg} t = \sqrt{\frac{(1 — \sin t)^2}{(1 + \sin t)(1 — \sin t)}} + \operatorname{tg} t = \sqrt{\frac{(1 — \sin t)^2}{1 — \sin^2 t}} + \operatorname{tg} t =$$ $$= \sqrt{\frac{(1 — \sin t)^2}{\cos^2 t}} + \operatorname{tg} t = \left| \frac{1 — \sin t}{\cos t} \right| + \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{1 — \sin t}{\cos t} + \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{1}{\cos t};$$

Точка $t$ принадлежит первой четверти:

$$2\pi < t < \frac{5\pi}{2} \quad \Rightarrow \quad 0 < t < \frac{\pi}{2};$$ $$0 \leq \cos t \leq 1;$$ $$0 \leq \sin t \leq 1;$$

Ответ: $\frac{1}{\cos t}$.

а) Упростить выражение

$$\sqrt{\frac{1 + \cos t}{1 — \cos t}} + \sqrt{\frac{1 — \cos t}{1 + \cos t}} + \frac{2}{\sin t}$$

Первоначальное выражение:

$$\sqrt{\frac{1 + \cos t}{1 — \cos t}} + \sqrt{\frac{1 — \cos t}{1 + \cos t}} + \frac{2}{\sin t}$$

Реализуем общий подход к упрощению:
Для начала объединим два первых корня:

$$\sqrt{\frac{1 + \cos t}{1 — \cos t}} + \sqrt{\frac{1 — \cos t}{1 + \cos t}}$$

Преобразуем их, приравняв знаменатели. Мы видим, что дроби имеют взаимно обратные выражения (то есть числитель одного корня — это знаменатель другого и наоборот). Объединяя их, получим следующее:

Приводим к общему знаменателю:
Напишем это в виде:

$$\sqrt{\frac{(1 + \cos t)^2}{1 — \cos^2 t}} + \sqrt{\frac{(1 — \cos t)^2}{1 — \cos^2 t}} + \frac{2}{\sin t}$$

Замечаем, что $1 — \cos^2 t = \sin^2 t$ (это из тождества $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$).

Подставим $\sin^2 t$:
Таким образом, получаем:

$$\sqrt{\frac{(1 + \cos t)^2}{\sin^2 t}} + \sqrt{\frac{(1 — \cos t)^2}{\sin^2 t}} + \frac{2}{\sin t}$$

Упростим квадратные корни:
Извлекаем квадратные корни:

$$\left| \frac{1 + \cos t}{\sin t} \right| + \left| \frac{1 — \cos t}{\sin t} \right| + \frac{2}{\sin t}$$

Мы применили модуль, потому что квадратный корень из квадрата выражения всегда равен модулю этого выражения.

Применяем свойства модуля и знаки функций в третьей четверти:
Так как точка $t$ лежит в третьей четверти ($3\pi < t < \frac{7\pi}{2}$), то:

• $\sin t$ отрицательно: $-1 \leq \sin t \leq 0$.
• $\cos t$ тоже отрицательно: $-1 \leq \cos t \leq 0$.

В третьей четверти:

• $1 + \cos t$ отрицательно, так как $\cos t \leq 0$, следовательно $1 + \cos t \leq 0$.
• $1 — \cos t$ положительно, так как $\cos t \leq 0$, следовательно $1 — \cos t \geq 0$.

Таким образом, выражения $\left| \frac{1 + \cos t}{\sin t} \right|$ и $\left| \frac{1 — \cos t}{\sin t} \right|$ можно записать как:

$$-\frac{1 + \cos t}{\sin t} \quad \text{и} \quad \frac{1 — \cos t}{\sin t}$$

Подставляем это в выражение:
Теперь получаем:

$$-\frac{1 + \cos t}{\sin t} — \frac{1 — \cos t}{\sin t} + \frac{2}{\sin t}$$

Приводим подобные слагаемые:
Все дроби имеют общий знаменатель $\sin t$, поэтому можно их объединить:

$$-\frac{1 + \cos t}{\sin t} — \frac{1 — \cos t}{\sin t} + \frac{2}{\sin t} = \frac{- (1 + \cos t) — (1 — \cos t) + 2}{\sin t}$$

Упрощаем числитель:
Раскроем скобки:

$$-(1 + \cos t) — (1 — \cos t) + 2 = -1 — \cos t — 1 + \cos t + 2 = 0$$

Получаем:

$$\frac{0}{\sin t} = 0$$

Таким образом, ответ для части а:

$$0$$

б) Упростить выражение

$$\sqrt{\frac{1 — \sin t}{1 + \sin t}} + \operatorname{tg} t$$

Первоначальное выражение:

$$\sqrt{\frac{1 — \sin t}{1 + \sin t}} + \operatorname{tg} t$$

Реализуем общий подход:
Чтобы упростить выражение, давайте сначала займемся первым корнем:

$$\sqrt{\frac{1 — \sin t}{1 + \sin t}}$$

Преобразуем его, аналогично предыдущему примеру, к виду:

$$\sqrt{\frac{(1 — \sin t)^2}{(1 + \sin t)(1 — \sin t)}}$$

Это можно записать как:

$$\sqrt{\frac{(1 — \sin t)^2}{1 — \sin^2 t}}$$

Из тождества $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ знаем, что $1 — \sin^2 t = \cos^2 t$.

Подставим $\cos^2 t$:
Получаем:

$$\sqrt{\frac{(1 — \sin t)^2}{\cos^2 t}}$$

Извлекаем квадратные корни:
Извлекаем квадратный корень из числителя и знаменателя:

$$\left| \frac{1 — \sin t}{\cos t} \right|$$

Так как $1 — \sin t \geq 0$ и $\cos t > 0$ в первой четверти, можно записать:

$$\frac{1 — \sin t}{\cos t}$$

Тангенс:
Напоминаем, что $\operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t}$, и подставляем это в выражение:

$$\frac{1 — \sin t}{\cos t} + \frac{\sin t}{\cos t}$$

Приводим дроби:
Объединяем дроби с общим знаменателем:

$$\frac{1 — \sin t + \sin t}{\cos t} = \frac{1}{\cos t}$$

Ответ для части б:

$$\frac{1}{\cos t}$$

Итоги:

Ответ для части а: $0$

Ответ для части б: $\frac{1}{\cos t}$