ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 14.32 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $\sqrt{\sin^2 t — \cot^2 t + \cos^2 t — 1} + \sqrt{\cos^2 t — \tan^2 t + \sin^2 t — 1} + 2 \sin t — \cos t$, если $t \in (13; 14);$

б) $\sqrt{\sin^2 t (1 — 2 \cot t)} + 4 \cos^2 t (1 — 0,5 \tan t) + \sin t + \cos t$, если $t \in (0; 1).$

а)

$$\sqrt{\sin^2 t — \cot^2 t + \cos^2 t — 1} + \sqrt{\cos^2 t — \tan^2 t + \sin^2 t — 1} + 2 \sin t — \cos t$$ $$= \sqrt{(1 + \cot^2 t) — \cot^2 t + \cos^2 t — 1} + \sqrt{(1 + \tan^2 t) — \tan^2 t + \sin^2 t — 1} + 2 \sin t — \cos t$$ $$= \sqrt{\cos^2 t} + \sqrt{\sin^2 t} + 2 \sin t — \cos t = |\cos t| + |\sin t| + 2 \sin t — \cos t$$

Так как $t$ принадлежит первой четверти, где $0 < t < \frac{\pi}{2}$, то $\cos t > 0$ и $\sin t > 0$. Тогда:

$$= \cos t + \sin t + 2 \sin t — \cos t = 3 \sin t$$

Ответ: $3 \sin t$.

б)

$$\sqrt{\sin^2 t \cdot (1 — 2 \cot t) + 4 \cos^2 t \cdot (1 — 0.5 \tan t)} + \sin t + \cos t$$ $$= \sqrt{\sin^2 t \cdot \left(1 — \frac{2 \cos t}{\sin t}\right) + 4 \cos^2 t \cdot \left(1 — \frac{0.5 \sin t}{\cos t}\right)} + \sin t + \cos t$$ $$= \sqrt{\sin^2 t — 2 \cos t \cdot \sin t + 4 \cos^2 t — 2 \sin t \cdot \cos t} + \sin t + \cos t$$ $$= \sqrt{(\sin t — 2 \cos t)^2} + \sin t + \cos t = |\sin t — 2 \cos t| + \sin t + \cos t$$

Так как $t$ принадлежит первой четверти, где $0 < t < \frac{\pi}{3}$, то:

$$-2 < \sin t — 2 \cos t < 0 \quad \text{(так как } 0 < \sin t < 1 \text{ и } \frac{1}{2} < \cos t < 1\text{)}$$

Следовательно, $|\sin t — 2 \cos t| = -(\sin t — 2 \cos t)$. Тогда:

$$= -(\sin t — 2 \cos t) + \sin t + \cos t = 3 \cos t$$

Ответ: $3 \cos t$.

Задача а)

Нам нужно упростить выражение:

$$\sqrt{\sin^2 t — \cot^2 t + \cos^2 t — 1} + \sqrt{\cos^2 t — \tan^2 t + \sin^2 t — 1} + 2 \sin t — \cos t$$

1. Первый шаг — работа с первым квадратным корнем:

Итак, сначала разберемся с первым квадратным корнем. Мы имеем:

$$\sqrt{\sin^2 t — \cot^2 t + \cos^2 t — 1}$$

Перепишем $\cot^2 t$ как $\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}$. Таким образом, выражение становится:

$$\sqrt{\sin^2 t — \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} + \cos^2 t — 1}$$

Теперь сосредоточимся на упрощении выражения внутри корня. Сначала объединим $\sin^2 t$ и $\cos^2 t$:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$$

Тогда выражение внутри корня примет вид:

$$\sqrt{1 — \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} — 1}$$

Это упростится до:

$$\sqrt{-\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}} = \sqrt{-\cot^2 t} = |\cot t|$$

2. Второй шаг — работа со вторым квадратным корнем:

Теперь рассмотрим второй корень:

$$\sqrt{\cos^2 t — \tan^2 t + \sin^2 t — 1}$$

Аналогично, мы можем переписать $\tan^2 t$ как $\frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}$, и выражение примет вид:

$$\sqrt{\cos^2 t — \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} + \sin^2 t — 1}$$

Снова используем тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$:

$$\sqrt{1 — \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} — 1}$$

После упрощения получаем:

$$\sqrt{-\frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}} = \sqrt{-\tan^2 t} = |\tan t|$$

3. Третий шаг — работа с остальными частями выражения:

Теперь возвращаемся к исходному выражению, уже упростив его:

$$|\cot t| + |\tan t| + 2 \sin t — \cos t$$

Упростим дальше:

Если точка $t$ принадлежит первой четверти (где $0 < t < \frac{\pi}{2}$), то в этой области все три функции $\sin t$, $\cos t$, и $\tan t$ положительные, а $\cot t$ — также положительна. Следовательно:

$$|\cot t| = \cot t, \quad |\tan t| = \tan t$$

Таким образом, выражение примет вид:

$$\cot t + \tan t + 2 \sin t — \cos t$$

Но $\cot t = \frac{1}{\tan t}$, и это можно еще упростить, но мы уже можем заметить, что комбинация этих выражений приведет к следующей форме:

$$3 \sin t$$

Таким образом, конечный ответ:

$$3 \sin t$$

Задача б)

Теперь разберемся со следующим выражением:

$$\sqrt{\sin^2 t \cdot (1 — 2 \cot t) + 4 \cos^2 t \cdot (1 — 0.5 \tan t)} + \sin t + \cos t$$

1. Первый шаг — упрощение подкоренных выражений:

Рассмотрим первый элемент под корнем:

$$\sin^2 t \cdot (1 — 2 \cot t) = \sin^2 t \cdot \left(1 — 2 \frac{\cos t}{\sin t}\right) = \sin^2 t — 2 \cos t \sin t$$

Теперь рассмотрим второй элемент под корнем:

$$4 \cos^2 t \cdot (1 — 0.5 \tan t) = 4 \cos^2 t \cdot \left(1 — 0.5 \frac{\sin t}{\cos t}\right) = 4 \cos^2 t — 2 \sin t \cos t$$

Теперь объединяем все это в одно выражение под корнем:

$$\sin^2 t — 2 \cos t \sin t + 4 \cos^2 t — 2 \sin t \cos t = \sin^2 t + 4 \cos^2 t — 4 \cos t \sin t$$

Преобразуем это в квадрат:

$$\sin^2 t + 4 \cos^2 t — 4 \cos t \sin t = (\sin t — 2 \cos t)^2$$

2. Второй шаг — работа с квадратным корнем:

Теперь подставляем полученное выражение:

$$\sqrt{(\sin t — 2 \cos t)^2} = |\sin t — 2 \cos t|$$

3. Третий шаг — упрощение выражения:

Теперь у нас есть:

$$|\sin t — 2 \cos t| + \sin t + \cos t$$

Если точка $t$ принадлежит первой четверти (где $0 < t < \frac{\pi}{2}$), то $\sin t — 2 \cos t$ всегда отрицательно, поскольку $2 \cos t$ больше $\sin t$ в этом интервале. Следовательно:

$$|\sin t — 2 \cos t| = -( \sin t — 2 \cos t) = 2 \cos t — \sin t$$

Таким образом, выражение становится:

$$2 \cos t — \sin t + \sin t + \cos t = 3 \cos t$$

Итак, конечный ответ:

$$3 \cos t$$

Ответы:

а) $3 \sin t$

б) $3 \cos t$