ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 14.33 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наименьшее и наибольшее значение функции:

а) $y = \sin^2 x + 2 \sin x — 5$

б) $y = \sin^2 x — 3 \cos^2 x + 2 \cos x$

в) $y = 4 \cos^2 x — 4 \cos x — 2$

г) $y={\cos }^{2}x-3{\sin }^{2}x-4\sin x$

Найти наименьшее и наибольшее значение функции:

а) $y = \sin^2 x + 2 \sin x — 5$

Пусть $t = \sin x$, тогда на отрезке $[-1; 1]$:

$$y = t^2 + 2t — 5$$

Абсцисса вершины параболы:

$$t_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$$

Значения функции:

$$y(-1) = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) — 5 = 1 — 2 — 5 = -6$$ $$y(1) = 1^2 + 2 \cdot 1 — 5 = 1 + 2 — 5 = -2$$

Ответ: $-6; -2$.

б) $y = \sin^2 x — 3 \cos^2 x + 2 \cos x$

Пусть $t = \cos x$, тогда на отрезке $[-1; 1]$:

$$y = (\sin^2 x + \cos^2 x) — 4 \cos^2 x + 2 \cos x$$ $$y = 1 — 4 \cos^2 x + 2 \cos x$$ $$y = 1 — 4t^2 + 2t$$

Абсцисса вершины параболы:

$$t_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-4)} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$$

Значения функции:

$$y(-1) = 1 — 4 \cdot (-1)^2 + 2 \cdot (-1) = 1 — 4 — 2 = -5$$ $$y\left(\frac{1}{4}\right) = 1 — 4 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^2 + 2 \cdot \frac{1}{4} = 1 — \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = 1 \frac{1}{4}$$ $$y(1) = 1 — 4 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 = 1 — 4 + 2 = 1$$

Ответ: $-5; 1 \frac{1}{4}$.

в) $y = 4 \cos^2 x — 4 \cos x — 2$

Пусть $t = \cos x$, тогда на отрезке $[-1; 1]$:

$$y = 4t^2 — 4t — 2$$

Абсцисса вершины параболы:

$$t_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$

Значения функции:

$$y(-1) = 4 \cdot (-1)^2 — 4 \cdot (-1) — 2 = 4 + 4 — 2 = 6$$ $$y\left(\frac{1}{2}\right) = 4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 — 4 \cdot \frac{1}{2} — 2 = 1 — 2 — 2 = -3$$ $$y(1) = 4 \cdot 1^2 — 4 \cdot 1 — 2 = 4 — 4 — 2 = -2$$

Ответ: $-3; 6$.

г) $y = \cos^2 x — 3 \sin^2 x — 4 \sin x$

Пусть $t = \sin x$, тогда на отрезке $[-1; 1]$:

$$y = (\cos^2 x + \sin^2 x) — 4 \sin^2 x — 4 \sin x$$ $$y = 1 — 4 \sin^2 x — 4 \sin x$$ $$y = 1 — 4t^2 — 4t$$

Абсцисса вершины параболы:

$$t_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot (-4)} = -\frac{4}{8} = -\frac{1}{2}$$

Значения функции:

$$y(-1) = 1 — 4 \cdot (-1)^2 — 4 \cdot (-1) = 1 — 4 + 4 = 1$$ $$y\left(-\frac{1}{2}\right) = 1 — 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^2 — 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 1 — 1 + 2 = 2$$ $$y(1) = 1 — 4 \cdot 1^2 — 4 \cdot 1 = 1 — 4 — 4 = -7$$

Ответ: $-7; 2$.

а) $y = \sin^2 x + 2 \sin x — 5$

Преобразование функции:
Пусть $t = \sin x$, тогда мы можем выразить функцию через $t$, так как $t \in [-1; 1]$ (значения синуса лежат в этом интервале):

$$y = \sin^2 x + 2 \sin x — 5 = t^2 + 2t — 5$$

Таким образом, функция преобразуется в квадратичную форму:

$$y(t) = t^2 + 2t — 5$$

Теперь необходимо найти наименьшее и наибольшее значение функции на интервале $t \in [-1; 1]$.

Нахождение вершины параболы:
Для квадратичной функции $y(t) = at^2 + bt + c$ абсцисса вершины параболы находится по формуле:

$$t_0 = -\frac{b}{2a}$$

В нашем случае $a = 1$, $b = 2$, $c = -5$, поэтому:

$$t_0 = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$$

То есть, вершина параболы находится в точке $t = -1$.

Вычисление значений функции:
Теперь найдем значения функции в точках, которые могут быть важными: в вершине и на концах интервала $t \in [-1; 1]$.

• Для $t = -1$:

  $$y(-1) = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) — 5 = 1 — 2 — 5 = -6$$

• Для $t = 1$:

  $$y(1) = 1^2 + 2 \cdot 1 — 5 = 1 + 2 — 5 = -2$$

Ответ:

• На интервале $t \in [-1; 1]$ наименьшее значение функции $y = -6$ при $t = -1$.
• Наибольшее значение функции $y = -2$ при $t = 1$.

Ответ: $-6; -2$.

б) $y = \sin^2 x — 3 \cos^2 x + 2 \cos x$

Преобразование функции:
Пусть $t = \cos x$, тогда выражение для функции примет вид:

$$y = \sin^2 x — 3 \cos^2 x + 2 \cos x$$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем:

$$y = (1 — \cos^2 x) — 3 \cos^2 x + 2 \cos x$$ $$y = 1 — 4 \cos^2 x + 2 \cos x$$ $$y = 1 — 4t^2 + 2t$$

Таким образом, функция преобразуется в квадратичную форму:

$$y(t) = 1 — 4t^2 + 2t$$

где $t \in [-1; 1]$.

Нахождение вершины параболы:
Для квадратичной функции $y(t) = at^2 + bt + c$ абсцисса вершины параболы находится по формуле:

$$t_0 = -\frac{b}{2a}$$

В нашем случае $a = -4$, $b = 2$, $c = 1$, поэтому:

$$t_0 = -\frac{2}{2 \cdot (-4)} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$$

Вычисление значений функции:
Теперь найдем значения функции в точках, которые могут быть важными: в вершине и на концах интервала $t \in [-1; 1]$.

• Для $t = -1$:

  $$y(-1) = 1 — 4 \cdot (-1)^2 + 2 \cdot (-1) = 1 — 4 — 2 = -5$$

• Для $t = \frac{1}{4}$:

  $$y\left(\frac{1}{4}\right) = 1 — 4 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^2 + 2 \cdot \frac{1}{4} = 1 — \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{4} = 1 \frac{1}{4}$$

• Для $t = 1$:

  $$y(1) = 1 — 4 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 = 1 — 4 + 2 = -1$$

Ответ:

• На интервале $t \in [-1; 1]$ наименьшее значение функции $y = -5$ при $t = -1$.
• Наибольшее значение функции $y = 1 \frac{1}{4}$ при $t = \frac{1}{4}$.

Ответ: $-5; 1 \frac{1}{4}$.

в) $y = 4 \cos^2 x — 4 \cos x — 2$

Преобразование функции:
Пусть $t = \cos x$, тогда функция преобразуется в:

$$y = 4t^2 — 4t — 2$$

где $t \in [-1; 1]$.

Нахождение вершины параболы:
Для квадратичной функции $y(t) = at^2 + bt + c$ абсцисса вершины параболы находится по формуле:

$$t_0 = -\frac{b}{2a}$$

В нашем случае $a = 4$, $b = -4$, $c = -2$, поэтому:

$$t_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$

Вычисление значений функции:
Теперь найдем значения функции в точках, которые могут быть важными: в вершине и на концах интервала $t \in [-1; 1]$.

• Для $t = -1$:

  $$y(-1) = 4 \cdot (-1)^2 — 4 \cdot (-1) — 2 = 4 + 4 — 2 = 6$$

• Для $t = \frac{1}{2}$:

  $$y\left(\frac{1}{2}\right) = 4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 — 4 \cdot \frac{1}{2} — 2 = 1 — 2 — 2 = -3$$

• Для $t = 1$:

  $$y(1) = 4 \cdot 1^2 — 4 \cdot 1 — 2 = 4 — 4 — 2 = -2$$

Ответ:

• На интервале $t \in [-1; 1]$ наименьшее значение функции $y = -3$ при $t = \frac{1}{2}$.
• Наибольшее значение функции $y = 6$ при $t = -1$.

Ответ: $-3; 6$.

г) $y = \cos^2 x — 3 \sin^2 x — 4 \sin x$

Преобразование функции:
Пусть $t = \sin x$, тогда функция примет вид:

$$y = \cos^2 x — 3 \sin^2 x — 4 \sin x$$

Используем тождество $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$, получаем:

$$y = (1 — \sin^2 x) — 3 \sin^2 x — 4 \sin x$$ $$y = 1 — 4 \sin^2 x — 4 \sin x$$ $$y = 1 — 4t^2 — 4t$$

где $t \in [-1; 1]$.

Нахождение вершины параболы:
Для квадратичной функции $y(t) = at^2 + bt + c$ абсцисса вершины параболы находится по формуле:

$$t_0 = -\frac{b}{2a}$$

В нашем случае $a = -4$, $b = -4$, $c = 1$, поэтому:

$$t_0 = -\frac{-4}{2 \cdot (-4)} = -\frac{4}{8} = -\frac{1}{2}$$

Вычисление значений функции:
Теперь найдем значения функции в точках, которые могут быть важными: в вершине и на концах интервала $t \in [-1; 1]$.

• Для $t = -1$:

  $$y(-1) = 1 — 4 \cdot (-1)^2 — 4 \cdot (-1) = 1 — 4 + 4 = 1$$

• Для $t = -\frac{1}{2}$:

  $$y\left(-\frac{1}{2}\right) = 1 — 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^2 — 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 1 — 1 + 2 = 2$$

• Для $t = 1$:

  $$y(1) = 1 — 4 \cdot 1^2 — 4 \cdot 1 = 1 — 4 — 4 = -7$$

Ответ:

• На интервале $t \in [-1; 1]$ наименьшее значение функции $y = -7$ при $t = 1$.
• Наибольшее значение функции $y = 2$ при $t = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-7; 2$.