ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 14.35 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $y = \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{ctg} x = 1$;

б) $y = 3 \cos^2 x + 2 \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{ctg} x + 3 \sin^2 x$

а) $y = \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{ctg} x = 1$;

Область определения функции:

$$x_1 \neq \frac{\pi}{2} + \pi n = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi(2n)}{2} = \frac{\pi(2n+1)}{2};$$ $$x_2 \neq \pi n = \frac{\pi(2n)}{2};$$ $$x \neq \frac{\pi k}{2};$$

График функции:

б) $y = 3 \cos^2 x + 2 \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{ctg} x + 3 \sin^2 x$;

$$y = 3 (\cos^2 x + \sin^2 x) + 2 = 3 + 2 = 5;$$

Область определения функции:

$$x_1 \neq \frac{\pi}{2} + \pi n = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi(2n)}{2} = \frac{\pi(2n+1)}{2};$$ $$x_2 \neq \pi n = \frac{\pi(2n)}{2};$$ $$x \neq \frac{\pi k}{2};$$

График функции:

Часть а) $y = \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{ctg} x = 1$

1) Область определения функции

В этой части рассматривается выражение $y = \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{ctg} x$. Сначала важно разобраться, где эти функции определены.

• $\operatorname{tg} x = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ определена, если $\cos x \neq 0$.
• $\operatorname{ctg} x = \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ определена, если $\sin x \neq 0$.

Таким образом, функции $\tan x$ и $\cot x$ не определены в следующих точках:

• $\mathrm{tg}x$ не определена в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (в этих точках $\cos x = 0$).
• $\cot x$ не определена в точках $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (в этих точках $\sin x = 0$).

Таким образом, область определения функции $y = \tan x \cdot \cot x$ — это все значения $x$, кроме точек, где функции $\mathrm{tg}$$$$\tan x$ или $\cot x$ не определены. То есть:

$$x \neq \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Ответ:
Область определения функции:

$$x \neq \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$$

2) График функции

Теперь рассмотрим сам график функции $y = \tan x \cdot \cot x$. Для упрощения, заметим, что:

$$y = \tan x \cdot \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = 1$$

Это тождество выполняется всегда, кроме тех точек, где функция не определена (то есть в точках $x = \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$).

Таким образом, график функции будет представлять собой горизонтальную прямую на уровне $y = 1$, за исключением разрывов в точках $x = \frac{\pi k}{2}$, где функция не существует.

Ответ:
График функции — это горизонтальная прямая, расположенная на уровне $y = 1$, с разрывами в точках $x = \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Часть б) $y = 3 \cos^2 x + 2 \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{ctg} x + 3 \sin^2 x$

1) Упрощение выражения для $y$

В первой части задания мы видим выражение $y = 3 \cos^2 x + 2 \tan x \cdot \cot x + 3 \sin^2 x$.

• Мы уже знаем, что $\tan x \cdot \cot x = 1$, следовательно, $2 \tan x \cdot \cot x = 2$.
• Теперь подставим это в исходное выражение для $y$:

$$y = 3 \cos^2 x + 2 + 3 \sin^2 x$$

Используем известное тригонометрическое тождество $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$, чтобы упростить выражение:

$$y = 3 (\cos^2 x + \sin^2 x) + 2 = 3 \cdot 1 + 2 = 3 + 2 = 5$$

Таким образом, функция $y$ всегда равна 5 для всех значений $x$, где функция определена.

2) Область определения функции

Так как выражение для функции $y = 5$ является константой и не зависит от $x$, область определения функции будет аналогична области определения функции из части а). То есть область определения будет зависеть от значений, при которых функции $\tan x$ и $\cot x$ определены:

$$x \neq \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Ответ:
Область определения функции:

$$x \neq \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$$

3) График функции

Функция $y = 5$ является постоянной, то есть её график — это горизонтальная прямая, расположенная на уровне $y = 5$.

Однако, аналогично части а), функция не определена в точках $x = \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$, поэтому в этих точках график будет разорван.

Ответ:
График функции — это горизонтальная прямая на уровне $y = 5$ с разрывами в точках $x = \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.