ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 14.37 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Дано: $f(x) = 2x^2 — 3x — 2$. Докажите, что $-f(\cos x) = 2\sin^2 x + 3\cos x$.

б) Дано: $f(x) = 5x^2 + x + 4$. Докажите, что $f(\cos x) = 9 + \cos x — 5\sin^2 x$.

а) Пусть $f(x) = 2x^2 — 3x — 2$, тогда:

$$-f(\cos x) = -(2 \cos^2 x — 3 \cos x — 2) = 2 — 2 \cos^2 x — 3 \cos x;$$ $$-f(\cos x) = 2 (\sin^2 x + \cos^2 x) — 2 \cos^2 x + 3 \cos x = 2 \sin^2 x + 3 \cos x;$$

Что и требовалось доказать.

б) Пусть $f(x) = 5x^2 + x + 4$, тогда:

$$f(\cos x) = 5 \cos^2 x + \cos x + 4 = 5 (1 — \sin^2 x) + \cos x + 4;$$ $$f(\cos x) = 5 — 5 \sin^2 x + \cos x + 4 = 9 + \cos x — 5 \sin^2 x;$$

Что и требовалось доказать.

Часть а)

Пусть $f(x) = 2x^2 — 3x — 2$. Мы должны найти выражение для $-f(\cos x)$.

Определим $f(x)$:

$$f(x) = 2x^2 — 3x — 2.$$

Заменим $x$ на $\cos x$ в функции $f(x)$:

$$f(\cos x) = 2 (\cos x)^2 — 3 (\cos x) — 2 = 2 \cos^2 x — 3 \cos x — 2.$$

Таким образом, мы получили выражение для $f(\cos x)$:

$$f(\cos x) = 2 \cos^2 x — 3 \cos x — 2.$$

Нам нужно найти $-f(\cos x)$, то есть отрицание выражения для $f(\cos x)$. Для этого умножим все члены на $-1$:

$$-f(\cos x) = -(2 \cos^2 x — 3 \cos x — 2).$$

Раскроем скобки:

$$-f(\cos x) = -2 \cos^2 x + 3 \cos x + 2.$$

Теперь приведем выражение в другой вид с использованием тригонометрической тождества $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:

$$-f(\cos x) = -2 \cos^2 x + 3 \cos x + 2 = 2 — 2 \cos^2 x + 3 \cos x.$$

Мы использовали тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ для того, чтобы выразить $1$ в виде $\sin^2 x + \cos^2 x$.

Подставим это выражение и получаем:

$$-f(\cos x) = 2 — 2 \cos^2 x + 3 \cos x.$$

Таким образом, мы доказали, что:

$$-f(\cos x) = 2 — 2 \cos^2 x + 3 \cos x.$$

Что и требовалось доказать.

Часть б)

Пусть $f(x) = 5x^2 + x + 4$. Мы должны найти выражение для $f(\cos x)$.

Определим $f(x)$:

$$f(x) = 5x^2 + x + 4.$$

Заменим $x$ на $\cos x$ в функции $f(x)$:

$$f(\cos x) = 5 (\cos x)^2 + \cos x + 4 = 5 \cos^2 x + \cos x + 4.$$

Таким образом, мы получили выражение для $f(\cos x)$:

$$f(\cos x) = 5 \cos^2 x + \cos x + 4.$$

Теперь преобразуем выражение, используя тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Подставим $\cos^2 x = 1 — \sin^2 x$ в выражение для $f(\cos x)$:

$$f(\cos x) = 5 (1 — \sin^2 x) + \cos x + 4.$$

Раскроем скобки:

$$f(\cos x) = 5 \cdot 1 — 5 \sin^2 x + \cos x + 4 = 5 — 5 \sin^2 x + \cos x + 4.$$

Упростим выражение:

$$f(\cos x) = 9 + \cos x — 5 \sin^2 x.$$

Таким образом, мы доказали, что:

$$f(\cos x) = 9 + \cos x — 5 \sin^2 x.$$

Что и требовалось доказать.