ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 14.39 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Сколько целых чисел содержится в области значений функции:

а) $y = \sqrt{8 — 27 \sin x — 4 \sin^2 x}$

б) $y = \sqrt{4 + 24 \cos x — \sin^2 x}$

Сколько целых чисел содержится в области значений функции:

а) $y = \sqrt{8 — 27 \sin x — 4 \sin^2 x}$;

Пусть $t = \sin x$, тогда на отрезке $[-1; 1]$:

$y = 8 — 27 \sin x — 4 \sin^2 x;$
$y = 8 — 27t — 4t^2;$

Абсцисса вершины параболы:
$t_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-27}{2 \cdot (-4)} = -\frac{27}{8} < -1;$

Значения функции:
$y_{\text{наим}} = y(-1) = 8 — 27 \cdot (-1) — 4 \cdot (-1)^2 = 8 + 27 — 4 = 31;$
$y_{\text{наим}} = y(1) = 8 — 27 \cdot 1 — 4 \cdot 1^2 = 8 — 27 — 4 = -23;$

Полные квадраты среди значений:
$y = 0, 1, 4, 9, 16, 25;$

Ответ: 6.

б) $y = \sqrt{4 + 24 \cos x — \sin^2 x}$;

Пусть $t = \cos x$, тогда на отрезке $[-1; 1]$:

$y = 4 + 24 \cos x — \sin^2 x;$
$y = 3 + 24 \cos x + (1 — \sin^2 x);$
$y = 3 + 24 \cos x + \cos^2 x;$
$y = 3 + 24t + t^2;$

Абсцисса вершины параболы:
$t_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{24}{2 \cdot 1} = -\frac{24}{2} < -1;$

Значения функции:
$y_{\text{наим}} = y(-1) = 3 + 24 \cdot (-1) + (-1)^2 = 3 — 24 + 1 = -20;$
$y_{\text{наим}} = y(1) = 3 + 24 \cdot 1 + 1^2 = 3 + 24 + 1 = 28;$

Полные квадраты среди значений:
$y = 0, 1, 4, 9, 16, 25;$

Ответ: 6.

Задание а)

Нам дана функция:

$$y = \sqrt{8 — 27 \sin x — 4 \sin^2 x}$$

1. Подстановка $t = \sin x$

Для удобства представим $t = \sin x$, тогда на интервале $t \in [-1, 1]$ выражение для $y$ примет следующий вид:

$$y = \sqrt{8 — 27 \cdot t — 4 \cdot t^2}$$

Так как подкоренное выражение не должно быть отрицательным для существования действительного значения функции, нам нужно анализировать, когда $8 — 27t — 4t^2 \geq 0$.

2. Определение области значений функции

Подкоренное выражение — это квадратная функция от $t$:

$$f(t) = 8 — 27t — 4t^2$$

Для поиска области значений функции, найдём её наибольшее и наименьшее значение на отрезке $t \in [-1, 1]$.

3. Находим абсциссу вершины параболы

Парабола имеет вид $f(t) = -4t^2 — 27t + 8$, где $a = -4$, $b = -27$, и $c = 8$. Абсцисса вершины параболы (максимума функции) находится по формуле:

$$t_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-27}{2 \cdot (-4)} = \frac{27}{8}$$

Мы видим, что $t_0 = \frac{27}{8} \approx 3.375$, что больше 1. Это означает, что вершина параболы лежит за пределами отрезка $[-1; 1]$, и нам нужно искать минимальные и максимальные значения функции на концах этого отрезка.

4. Вычисление значений функции на концах интервала

Теперь вычислим значения функции $f(t) = 8 — 27t — 4t^2$ в точках $t = -1$ и $t = 1$.

• Для $t = -1$:

$$f(-1) = 8 — 27 \cdot (-1) — 4 \cdot (-1)^2 = 8 + 27 — 4 = 31$$

• Для $t = 1$:

$$f(1) = 8 — 27 \cdot 1 — 4 \cdot 1^2 = 8 — 27 — 4 = -23$$

Таким образом, значения функции на концах интервала $t \in [-1, 1]$ составляют $f(-1) = 31$ и $f(1) = -23$.

5. Полные квадраты среди значений функции

Теперь, для того чтобы определить, какие целые числа $y$ могут быть значениями функции, обратим внимание на полные квадраты, так как $y = \sqrt{8 — 27t — 4t^2}$ подразумевает, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Найдем полные квадраты между $-23$ и $31$ (включая эти значения):

Полные квадраты от 0 до 31 включительно: $0, 1, 4, 9, 16, 25$.

Проверим, что эти значения могут быть достигнуты при соответствующих значениях $t$.

Для каждого полного квадрата $k$ (где $k \in \{0, 1, 4, 9, 16, 25\}$) будем искать $t$, при котором выполняется равенство $8 — 27t — 4t^2 = k$, и убедимся, что найденные $t$ лежат в интервале $[-1; 1]$.

Ответ: 6 полных квадрата $0, 1, 4, 9, 16, 25$.

Задание б)

Теперь рассматриваем функцию:

$$y = \sqrt{4 + 24 \cos x — \sin^2 x}$$

1. Подстановка $t = \cos x$

Для удобства подставим $t = \cos x$. В этом случае на интервале $t \in [-1, 1]$ функция примет вид:

$$y = \sqrt{4 + 24t — (1 — t^2)} = \sqrt{3 + 24t + t^2}$$

Опять же, подкоренное выражение не должно быть отрицательным для существования действительных значений функции. Таким образом, нам нужно анализировать, при каких значениях $t$ выражение $3 + 24t + t^2 \geq 0$.

2. Определение области значений функции

Подкоренное выражение представляет собой квадратную функцию от $t$:

$$f(t) = 3 + 24t + t^2$$

Чтобы найти область значений функции, найдём её минимальное и максимальное значение на отрезке $t \in [-1, 1]$.

3. Находим абсциссу вершины параболы

Парабола имеет вид $f(t) = t^2 + 24t + 3$, где $a = 1$, $b = 24$, и $c = 3$. Абсцисса вершины параболы находится по формуле:

$$t_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{24}{2 \cdot 1} = -12$$

Поскольку $t_0 = -12$, который меньше, чем -1, вершина параболы находится за пределами интервала $[-1; 1]$, и нам снова нужно рассматривать значения функции на концах отрезка.

4. Вычисление значений функции на концах интервала

Теперь вычислим значения функции $f(t) = 3 + 24t + t^2$ в точках $t = -1$ и $t = 1$.

• Для $t = -1$:

$$f(-1) = 3 + 24 \cdot (-1) + (-1)^2 = 3 — 24 + 1 = -20$$

• Для $t = 1$:

$$f(1) = 3 + 24 \cdot 1 + 1^2 = 3 + 24 + 1 = 28$$

Таким образом, значения функции на концах интервала $t \in [-1, 1]$ составляют $f(-1) = -20$ и $f(1) = 28$.

5. Полные квадраты среди значений функции

Теперь, чтобы определить, какие целые числа $y$ могут быть значениями функции, обратим внимание на полные квадраты, так как $y = \sqrt{3 + 24t + t^2}$.

Полные квадраты от 0 до 28 (включая эти значения): $0, 1, 4, 9, 16, 25$.

Ответ: 6 полных квадрата $0, 1, 4, 9, 16, 25$.

Итоговый ответ

• Для функции $y = \sqrt{8 — 27 \sin x — 4 \sin^2 x}$ — ответ: 6.
• Для функции $y = \sqrt{4 + 24 \cos x — \sin^2 x}$ — ответ: 6.