ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 14.5 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а) $\frac{\cos^2 t}{1 — \sin t} — \sin t = 1$;

б) $\frac{{\sin }^{2}t}{1+\cos t}+\cos t=1$

Доказать тождество:

а) $\frac{\cos^2 t}{1 — \sin t} — \sin t = 1$;

$$\frac{\cos^2 t — \sin t \cdot (1 — \sin t)}{1 — \sin t} = 1;$$ $$\frac{\cos^2 t + \sin^2 t — \sin t}{1 — \sin t} = 1;$$ $$\frac{1 — \sin t}{1 — \sin t} = 1;$$ $$1 = 1;$$

Тождество доказано.

б) $\frac{\sin^2 t}{1 + \cos t} + \cos t = 1$;

$$\frac{\sin^2 t + \cos t \cdot (1 + \cos t)}{1 + \cos t} = 1;$$ $$\frac{\sin^2 t + \cos^2 t + \cos t}{1 + \cos t} = 1;$$ $$\frac{1 + \cos t}{1 + \cos t} = 1;$$ $$1 = 1;$$

Тождество доказано.

а) $\frac{\cos^2 t}{1 — \sin t} — \sin t = 1$

Шаг 1. Перепишем исходное выражение

Нам нужно доказать следующее тождество:

$$\frac{\cos^2 t}{1 — \sin t} — \sin t = 1.$$

Для удобства начнем с того, чтобы привести оба слагаемых к общему знаменателю. Исходное выражение можно переписать как:

$$\frac{\cos^2 t}{1 — \sin t} — \sin t = \frac{\cos^2 t — \sin t \cdot (1 — \sin t)}{1 — \sin t}.$$

Шаг 2. Упростим числитель

Теперь упростим числитель:

$$\cos^2 t — \sin t \cdot (1 — \sin t).$$

Раскроем скобки:

$$\cos^2 t — \sin t + \sin^2 t.$$

Теперь используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$:

$$\cos^2 t + \sin^2 t = 1.$$

Подставим это в числитель:

$$1 — \sin t.$$

Шаг 3. Упростим выражение

Теперь получаем выражение:

$$\frac{1 — \sin t}{1 — \sin t}.$$

Очевидно, что если $1 — \sin t \neq 0$, то мы можем сократить числитель и знаменатель:

$$\frac{1 — \sin t}{1 — \sin t} = 1.$$

Шаг 4. Ответ

Таким образом, тождество доказано:

$$1 = 1.$$

б) $\frac{\sin^2 t}{1 + \cos t} + \cos t = 1$

Шаг 1. Перепишем исходное выражение

Нам нужно доказать следующее тождество:

$$\frac{\sin^2 t}{1 + \cos t} + \cos t = 1.$$

Приведем оба слагаемых к общему знаменателю:

$$\frac{\sin^2 t}{1 + \cos t} + \cos t = \frac{\sin^2 t + \cos t \cdot (1 + \cos t)}{1 + \cos t}.$$

Шаг 2. Упростим числитель

Теперь упростим числитель:

$$\sin^2 t + \cos t \cdot (1 + \cos t).$$

Раскроем скобки:

$$\sin^2 t + \cos t + \cos^2 t.$$

Теперь снова используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1.$$

Подставим это в числитель:

$$1 + \cos t.$$

Шаг 3. Упростим выражение

Теперь получаем выражение:

$$\frac{1 + \cos t}{1 + \cos t}.$$

Очевидно, что если $1 + \cos t \neq 0$, то мы можем сократить числитель и знаменатель:

$$\frac{1 + \cos t}{1 + \cos t} = 1.$$

Шаг 4. Ответ

Таким образом, тождество доказано:

$$1=1.$$