ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 14.6 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что при всех допустимых значениях $t$, выражение принимает одно и то же значение:

а)
$(\sin t+\cos t{)}^2-2\sin t\cdot \cos t$

б)
$\frac{2-{\sin }^{2}t-{\cos }^{2}t}{3{\sin }^{2}t+3{\cos }^{2}t}$

в)
${\sin }^{4}t+{\cos }^{4}t+2{\sin }^{2}t\cdot {\cos }^{2}t$

г)
$\frac{{\sin }^{4}t-{\cos }^{4}t}{{\sin }^{2}t-{\cos }^{2}t}$

Доказать, что при всех допустимых значениях $t$, выражение принимает одно и то же значение:

а)
$(\sin t + \cos t)^2 — 2 \sin t \cdot \cos t =$
$= (\sin^2 t + \cos^2 t + 2 \sin t \cdot \cos t) — 2 \sin t \cdot \cos t = \sin^2 t + \cos^2 t = 1;$
Что и требовалось доказать.

б)
$\frac{2 — \sin^2 t — \cos^2 t}{3 \sin^2 t + 3 \cos^2 t} = \frac{2 — (\sin^2 t + \cos^2 t)}{3 \cdot (\sin^2 t + \cos^2 t)} = \frac{2 — 1}{3 \cdot 1} = \frac{1}{3};$
Что и требовалось доказать.

в)
$\sin^4 t + \cos^4 t + 2 \sin^2 t \cdot \cos^2 t = (\sin^2 t + \cos^2 t)^2 = 1^2 = 1;$
Что и требовалось доказать.

г)
$\frac{\sin^4 t — \cos^4 t}{\sin^2 t — \cos^2 t} = \frac{(\sin^2 t — \cos^2 t)(\sin^2 t + \cos^2 t)}{\sin^2 t — \cos^2 t} = \sin^2 t + \cos^2 t = 1;$
Что и требовалось доказать.

а)

Выражение:

$$(\sin t + \cos t)^2 — 2 \sin t \cdot \cos t$$

Шаг 1: Раскроем скобки по формуле квадрата суммы:

$$(\sin t + \cos t)^2 = \sin^2 t + 2 \sin t \cos t + \cos^2 t$$

Шаг 2: Подставим в выражение:

$$\sin^2 t + 2 \sin t \cos t + \cos^2 t — 2 \sin t \cos t$$

Шаг 3: Приведём подобные:

$$(\sin^2 t + \cos^2 t) + (2 \sin t \cos t — 2 \sin t \cos t)$$

Шаг 4: Знаем основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$$

Шаг 5: Тогда:

$$1 + 0 = 1$$

Ответ:

$$(\sin t + \cos t)^2 — 2 \sin t \cos t = 1$$

Что и требовалось доказать.

б)

Выражение:

$$\frac{2 — \sin^2 t — \cos^2 t}{3 \sin^2 t + 3 \cos^2 t}$$

Шаг 1: В числителе и знаменателе есть сумма $\sin^2 t + \cos^2 t$, объединим её:
Числитель:

$$2 — (\sin^2 t + \cos^2 t)$$

Знаменатель:

$$3 \sin^2 t + 3 \cos^2 t = 3 (\sin^2 t + \cos^2 t)$$

Шаг 2: Используем тождество:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$$

Подставим в выражение:

Числитель:

$$2 — 1 = 1$$

Знаменатель:

$$3 \cdot 1 = 3$$

Шаг 3: Получаем:

$$\frac{1}{3}$$

Ответ:

$$\frac{2 — \sin^2 t — \cos^2 t}{3 \sin^2 t + 3 \cos^2 t} = \frac{1}{3}$$

Что и требовалось доказать.

в)

Выражение:

$$\sin^4 t + \cos^4 t + 2 \sin^2 t \cdot \cos^2 t$$

Шаг 1: Вспомним тождество:

$$a^2 + b^2 + 2ab = (a + b)^2$$

Применим к:

$$a = \sin^2 t,\quad b = \cos^2 t$$

Тогда:

$$\sin^4 t + \cos^4 t + 2 \sin^2 t \cos^2 t = (\sin^2 t + \cos^2 t)^2$$

Шаг 2: Снова используем тождество:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1 \Rightarrow (\sin^2 t + \cos^2 t)^2 = 1^2 = 1$$

Ответ:

$$\sin^4 t + \cos^4 t + 2 \sin^2 t \cos^2 t = 1$$

Что и требовалось доказать.

г)

Выражение:

$$\frac{\sin^4 t — \cos^4 t}{\sin^2 t — \cos^2 t}$$

Шаг 1: В числителе — разность квадратов:

$$a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)$$

Применим к:

$$a = \sin^2 t, \quad b = \cos^2 t \Rightarrow \sin^4 t — \cos^4 t = (\sin^2 t — \cos^2 t)(\sin^2 t + \cos^2 t)$$

Шаг 2: Подставим это в исходное выражение:

$$\frac{(\sin^2 t — \cos^2 t)(\sin^2 t + \cos^2 t)}{\sin^2 t — \cos^2 t}$$

Шаг 3: Сократим одинаковые множители (при условии, что $\sin^2 t \ne \cos^2 t$):

$$\sin^2 t + \cos^2 t$$

Шаг 4: Используем основное тождество:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$$

Ответ:

$$\frac{\sin^4 t — \cos^4 t}{\sin^2 t — \cos^2 t} = 1$$

Что и требовалось доказать.