ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 14.9 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а)

$$\frac{\sin t}{1+\cos t}+\frac{\sin t}{1-\cos t}$$

б)

$${\mathrm{ctg}}^{2}t\cdot ({\cos }^{2}t-1)+1$$

в)

$$\frac{\cos t}{1+\sin t}+\frac{\cos t}{1-\sin t}$$

г)

$$\mathrm{tg}t+1$$

Упростить выражение:

а)

$$\frac{\sin t}{1 + \cos t} + \frac{\sin t}{1 — \cos t} = \frac{\sin t \cdot (1 — \cos t) + \sin t \cdot (1 + \cos t)}{(1 — \cos t)(1 + \cos t)} =$$ $$= \frac{\sin t — \sin t \cdot \cos t + \sin t + \sin t \cdot \cos t}{1 — \cos^2 t} = \frac{2 \sin t}{\sin^2 t} = \frac{2}{\sin t};$$

Ответ: $\frac{2}{\sin t}$.

б)

$$\operatorname{ctg}^2 t \cdot (\cos^2 t — 1) + 1 = -\operatorname{ctg}^2 t \cdot (1 — \cos^2 t) + 1 =$$ $$= -\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} \cdot \sin^2 t + 1 = -\cos^2 t + (\cos^2 t + \sin^2 t) = \sin^2 t;$$

Ответ: $\sin^2 t$.

в)

$$\frac{\cos t}{1 + \sin t} + \frac{\cos t}{1 — \sin t} = \frac{\cos t \cdot (1 — \sin t) + \cos t \cdot (1 + \sin t)}{(1 — \sin t)(1 + \sin t)} =$$ $$= \frac{\cos t — \sin t \cdot \cos t + \cos t + \sin t \cdot \cos t}{1 — \sin^2 t} = \frac{2 \cos t}{\cos^2 t} = \frac{2}{\cos t};$$

Ответ: $\frac{2}{\cos t}$.

г)

$$\tg t + 1 = \frac{\sin t}{\cos t} + 1 = \frac{\sin t + \cos t}{\cos t} : \frac{\cos t + \sin t}{\sin t} =$$ $$= \frac{\sin t + \cos t}{\cos t} \cdot \frac{\sin t}{\cos t + \sin t} = \frac{\sin t}{\cos t} = \tg t;$$

Ответ: $\tg t$.

а)

Упростить:

$$\frac{\sin t}{1 + \cos t} + \frac{\sin t}{1 — \cos t}$$

Шаг 1. Приводим к общему знаменателю:

Общий знаменатель:

$$(1 + \cos t)(1 — \cos t)$$

Это разность квадратов:

$$(1 + \cos t)(1 — \cos t) = 1 — \cos^2 t$$

Шаг 2. Приводим числитель:

$$\frac{\sin t \cdot (1 — \cos t) + \sin t \cdot (1 + \cos t)}{1 — \cos^2 t}$$

Шаг 3. Раскрываем скобки в числителе:

$$= \frac{\sin t — \sin t \cdot \cos t + \sin t + \sin t \cdot \cos t}{1 — \cos^2 t}$$

Шаг 4. Приводим подобные слагаемые:

$$— \sin t \cdot \cos t + \sin t \cdot \cos t = 0$$

Остается:

$$\frac{2 \sin t}{1 — \cos^2 t}$$

Шаг 5. Используем основное тригонометрическое тождество:

$$1 — \cos^2 t = \sin^2 t$$

Шаг 6. Подставляем:

$$\frac{2 \sin t}{\sin^2 t}$$

Шаг 7. Сокращаем $\sin t$:

$$= \frac{2}{\sin t}$$

Ответ: $\boxed{\frac{2}{\sin t}}$

б)

Упростить:

$$\operatorname{ctg}^2 t \cdot (\cos^2 t — 1) + 1$$

Шаг 1. Вынесем знак минус:

$$= -\operatorname{ctg}^2 t \cdot (1 — \cos^2 t) + 1$$

Шаг 2. Преобразуем $1 — \cos^2 t$ по основному тождеству:

$$1 — \cos^2 t = \sin^2 t$$

Шаг 3. Подставим:

$$= -\operatorname{ctg}^2 t \cdot \sin^2 t + 1$$

Шаг 4. Запишем $\operatorname{ctg}^2 t$ через синус и косинус:

$$\operatorname{ctg}^2 t = \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}$$

Шаг 5. Подставим:

$$= -\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} \cdot \sin^2 t + 1$$

Шаг 6. Сократим $\sin^2 t$:

$$= -\cos^2 t + 1$$

Шаг 7. Используем тождество:

$$1 = \cos^2 t + \sin^2 t \Rightarrow -\cos^2 t + 1 = \sin^2 t$$

Ответ: $\boxed{\sin^2 t}$

в)

Упростить:

$$\frac{\cos t}{1 + \sin t} + \frac{\cos t}{1 — \sin t}$$

Шаг 1. Приводим к общему знаменателю:

$$(1 + \sin t)(1 — \sin t) = 1 — \sin^2 t$$

Шаг 2. Приводим числитель:

$$\cos t \cdot (1 — \sin t) + \cos t \cdot (1 + \sin t)$$

Шаг 3. Раскрываем скобки:

$$= \cos t — \cos t \cdot \sin t + \cos t + \cos t \cdot \sin t$$

Шаг 4. Приводим подобные слагаемые:

$$— \cos t \cdot \sin t + \cos t \cdot \sin t = 0 \Rightarrow 2 \cos t$$

Шаг 5. Подставим:

$$\frac{2 \cos t}{1 — \sin^2 t}$$

Шаг 6. Используем тождество:

$$1 — \sin^2 t = \cos^2 t \Rightarrow \frac{2 \cos t}{\cos^2 t}$$

Шаг 7. Сокращаем:

$$= \frac{2}{\cos t}$$

Ответ: $\boxed{\frac{2}{\cos t}}$

г)

Упростить:

$$\tg t + 1 = \frac{\sin t}{\cos t} + 1$$

Шаг 1. Представим единицу с общим знаменателем:

$$\frac{\sin t}{\cos t} + \frac{\cos t}{\cos t} = \frac{\sin t + \cos t}{\cos t}$$

Теперь:

$$\frac{\sin t + \cos t}{\cos t}$$

Шаг 2. Делим на:

$$\frac{\cos t + \sin t}{\sin t}$$

Обратим второй дробь и умножим:

$$\frac{\sin t + \cos t}{\cos t} \cdot \frac{\sin t}{\cos t + \sin t}$$

Шаг 3. Сокращаем одинаковые числитель и знаменатель:

$$\frac{\sin t}{\cos t} = \tg t$$

Ответ: $\boxed{\tg t}$