ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 14 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

В числе 23_47 заполните пропуск такой цифрой, чтобы число:

а) делилось на 3;

б) делилось на 9.

В число $23×47$ заполнить пропуск такой цифрой, чтобы число:

а) Делилось на 3:

На три делится то число, сумма цифр которого кратна трем:

$$2+3+x+4+7=16+x;$$

$$2 + 3 + x + 4 + 7 = 16 + x;$$ $$1+6+x=7+x;$$

$$1 + 6 + x = 7 + x;$$ $$(7+x):3;$$

$$(7 + x) : 3;$$ $$x = 2, \, x = 5, \, x = 8;$$

Ответ: $23247$, $23547$ или $23847$.

б) Делилось на 9:

На девять делится то число, сумма цифр которого кратна 9:

$$2+3+x+4+7=16+x;$$

$$2 + 3 + x + 4 + 7 = 16 + x;$$ $$1+6+x=7+x;$$

$$1 + 6 + x = 7 + x;$$ $$(7 + x) : 9, \text{отсюда } x = 2;$$

Ответ: $23247$.

Число $23×47$ состоит из цифр: $2, 3, x, 4, 7$. Для того чтобы число делилось на 3 или на 9, мы должны проверить, удовлетворяет ли его сумма цифр соответствующим условиям для делимости на 3 или 9.

Правила делимости:

• Делимость на 3: Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.
• Делимость на 9: Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

а) Делимость на 3:

Нахождение суммы цифр числа:

Сначала найдем сумму всех цифр числа $23×47$, если вместо $x$ подставим неизвестную цифру. Сумма цифр числа будет:

$$2 + 3 + x + 4 + 7 = 16 + x$$

Проверка делимости суммы на 3:

Чтобы число делилось на 3, сумма цифр должна быть кратна 3. То есть $16 + x$ должно делиться на 3. Рассмотрим остатки от деления $16 + x$ на 3 для различных значений $x$.

Сначала найдем остаток от деления числа 16 на 3:

$$16 \div 3 = 5 \text{ (целая часть)}, \quad \text{и остаток } 16 — 5 \times 3 = 16 — 15 = 1$$

Таким образом, $16 \equiv 1 \mod 3$. Теперь найдем остаток от деления $16 + x$ на 3:

$$16 + x \equiv 1 + x \mod 3$$

Чтобы $16 + x$ делилось на 3, нам нужно, чтобы остаток от деления $1 + x$ на 3 был равен 0. То есть:

$$1 + x \equiv 0 \mod 3$$ $$x \equiv 2 \mod 3$$

Определение возможных значений $x$:

Из условия $x \equiv 2 \mod 3$ получаем, что $x$ может быть равно:

$$x = 2, \, 5, \, 8$$

Подставляем значения $x$:

Теперь подставим полученные значения $x$ в число $23×47$:

• Когда $x = 2$, число $23247$,
• Когда $x = 5$, число $23547$,
• Когда $x = 8$, число $23847$.

Ответ для части (а):
Таким образом, числа, которые делятся на 3, это:

$$23247, 23547, 23847$$

б) Делимость на 9:

Нахождение суммы цифр числа:

Сумма цифр числа $23×47$ опять же равна:

$$2 + 3 + x + 4 + 7 = 16 + x$$

Проверка делимости суммы на 9:

Чтобы число делилось на 9, сумма его цифр должна быть кратна 9. То есть $16 + x$ должно делиться на 9. Рассмотрим остатки от деления $16 + x$ на 9 для различных значений $x$.

Сначала найдем остаток от деления числа 16 на 9:

$$16 \div 9 = 1 \text{ (целая часть)}, \quad \text{и остаток } 16 — 1 \times 9 = 16 — 9 = 7$$

Таким образом, $16 \equiv 7 \mod 9$. Теперь найдем остаток от деления $16 + x$ на 9:

$$16 + x \equiv 7 + x \mod 9$$

Чтобы $16 + x$ делилось на 9, нам нужно, чтобы остаток от деления $7 + x$ на 9 был равен 0. То есть:

$$7 + x \equiv 0 \mod 9$$ $$x \equiv 2 \mod 9$$

Определение возможных значений $x$:

Из условия $x \equiv 2 \mod 9$ получаем, что $x$ может быть равно:

$$x = 2$$

Подставляем значение $x$:

Подставляем $x = 2$ в число $23×47$:

• Когда $x = 2$, число $23247$.

Ответ для части (б):
Таким образом, число, которое делится на 9:

$$23247$$

Итоговые ответы:

• а) Числа, которые делятся на 3:
  $23247$, $23547$, $23847$.
• б) Число, которое делится на 9:
  $23247$.