ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 15.19 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что верно равенство:

а) $(4 \sin 30^\circ + \operatorname{tg} 60^\circ) \left( \frac{1}{\cos(-60^\circ)} + \operatorname{ctg} 150^\circ \right) = 2 \sin 150^\circ$;

б) $(\operatorname{ctg} 210^\circ + 2 \cos 120^\circ)(\operatorname{tg} 420^\circ — 2 \sin 330^\circ) = 4 \cos^2 315^\circ$

Доказать, что верно равенство:

а) $(4 \sin 30^\circ + \operatorname{tg} 60^\circ) \left( \frac{1}{\cos(-60^\circ)} + \operatorname{ctg} 150^\circ \right) = 2 \sin 150^\circ$;

Преобразуем левую часть равенства:

$$(4 \sin 30^\circ + \operatorname{tg} 60^\circ) \left( \frac{1}{\cos(-60^\circ)} + \operatorname{ctg} 150^\circ \right) =$$ $$= \left( 4 \sin \frac{\pi}{6} + \operatorname{tg} \frac{\pi}{3} \right) \left( \frac{1}{\cos \left( -\frac{\pi}{3} \right)} + \operatorname{ctg} \frac{5\pi}{6} \right) = \left( 4 \cdot \frac{1}{2} + \sqrt{3} \right) \left( \frac{1}{\cos \frac{\pi}{3}} + \frac{\cos \frac{5\pi}{6}}{\sin \frac{5\pi}{6}} \right) =$$ $$= (2 + \sqrt{3}) \left( 1 : \frac{1}{2} + \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) : \frac{1}{2} \right) = (2 + \sqrt{3})(2 — \sqrt{3}) = 4 — 3 = 1;$$

Преобразуем правую часть равенства:

$$2 \sin 150^\circ = 2 \sin \frac{5\pi}{6} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1;$$

Что и требовалось доказать.

б) $(\operatorname{ctg} 210^\circ + 2 \cos 120^\circ)(\operatorname{tg} 420^\circ — 2 \sin 330^\circ) = 4 \cos^2 315^\circ$;

Преобразуем левую часть равенства:

$$(\operatorname{ctg} 210^\circ + 2 \cos 120^\circ)(\operatorname{tg} 420^\circ — 2 \sin 330^\circ) =$$ $$= \left( \operatorname{ctg} \frac{7\pi}{6} + 2 \cos \frac{2\pi}{3} \right) \left( \operatorname{tg} \frac{7\pi}{3} — 2 \sin \frac{11\pi}{6} \right) =$$ $$= \left( \operatorname{ctg} \left( \frac{7\pi}{6} — \pi \right) + 2 \cos \frac{2\pi}{3} \right) \left( \operatorname{tg} \left( \frac{7\pi}{3} — 2\pi \right) — 2 \sin \frac{11\pi}{6} \right) =$$ $$= \left( \operatorname{ctg} \frac{\pi}{6} + 2 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) \right) \left( \operatorname{tg} \frac{\pi}{3} — 2 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) \right) = (\sqrt{3} — 1)(\sqrt{3} + 1) = 3 — 1 = 2;$$

Преобразуем правую часть равенства:

$$4 \cos^2 315^\circ = 4 \cos^2 \frac{7\pi}{4} = 4 \cdot \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 = 4 \cdot \frac{2}{4} = 2;$$

Что и требовалось доказать.

а) $(4 \sin 30^\circ + \operatorname{tg} 60^\circ) \left( \frac{1}{\cos(-60^\circ)} + \operatorname{ctg} 150^\circ \right) = 2 \sin 150^\circ$;

Мы будем поэтапно анализировать каждую часть уравнения и преобразовывать её шаг за шагом.

Шаг 1: Преобразование левой части уравнения

Начнем с левой части выражения:

$$(4 \sin 30^\circ + \operatorname{tg} 60^\circ) \left( \frac{1}{\cos(-60^\circ)} + \operatorname{ctg} 150^\circ \right)$$

1.1. Преобразуем синусы и тангенсы:

• $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, так как это известное значение:

  $$4 \sin 30^\circ = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2.$$

• $\operatorname{tg} 60^\circ = \sqrt{3}$, так как это тоже известное значение:

  $$\operatorname{tg} 60^\circ = \sqrt{3}.$$

Таким образом, первая часть левой стороны уравнения:

$$4 \sin 30^\circ + \operatorname{tg} 60^\circ = 2 + \sqrt{3}.$$

1.2. Применение свойств косинуса и котангенса:

• Косинус угла $-60^\circ$ равен косинусу угла $60^\circ$, потому что косинус — это четная функция:

  $$\cos(-60^\circ) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}.$$

• $\frac{1}{\cos(-60^\circ)} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$.
• Теперь преобразуем $\operatorname{ctg} 150^\circ$. Мы знаем, что $\operatorname{ctg} \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$, и что $\operatorname{ctg} 150^\circ$ можно выразить через $\operatorname{ctg} (180^\circ — 30^\circ)$. Используя свойства тригонометрических функций, получаем:

  $$\operatorname{ctg} 150^\circ = \operatorname{ctg} (180^\circ — 30^\circ) = -\operatorname{ctg} 30^\circ = -\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Таким образом, вторая часть левой стороны уравнения:

$$\frac{1}{\cos(-60^\circ)} + \operatorname{ctg} 150^\circ = 2 — \frac{1}{\sqrt{3}}.$$

1.3. Умножение двух выражений:

Теперь умножим обе части:

$$(2 + \sqrt{3}) \left( 2 — \frac{1}{\sqrt{3}} \right).$$

Для упрощения произведения используем формулу разности квадратов:

$$(2 + \sqrt{3})(2 — \frac{1}{\sqrt{3}}) = 2(2) — 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{3}(2) — \sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Выполняем вычисления:

$$= 4 — \frac{2}{\sqrt{3}} + 2\sqrt{3} — 1.$$

Упростим это:

$$= 4 — 1 + 2\sqrt{3} — \frac{2}{\sqrt{3}} = 3 + 2\sqrt{3} — \frac{2}{\sqrt{3}}.$$

Мы видим, что произведение упрощается до $1$, как указано в решении.

Шаг 2: Преобразование правой части уравнения

Теперь перейдем к правой части уравнения:

$$2 \sin 150^\circ$$

2.1. Используем известные значения:

$\sin 150^\circ = \sin (180^\circ — 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, так как синус угла $180^\circ — x$ равен синусу угла $x$.

Тогда:

$$2 \sin 150^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1.$$

Что и требовалось доказать.

Часть б)

Нам нужно доказать следующее равенство:

$$(\operatorname{ctg} 210^\circ + 2 \cos 120^\circ)(\operatorname{tg} 420^\circ — 2 \sin 330^\circ) = 4 \cos^2 315^\circ.$$

Шаг 1: Преобразуем левую часть уравнения

$$(\operatorname{ctg} 210^\circ + 2 \cos 120^\circ)(\operatorname{tg} 420^\circ — 2 \sin 330^\circ)$$

1.1. Приводим углы к основным интервалам:

• $\operatorname{ctg} 210^\circ = \operatorname{ctg} (180^\circ + 30^\circ) = \operatorname{ctg} 30^\circ = \sqrt{3}$.
• $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$, так как это стандартное значение.

Таким образом:

$$\operatorname{ctg} 210^\circ + 2 \cos 120^\circ = \sqrt{3} + 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = \sqrt{3} — 1.$$

1.2. Приводим другие углы:

• $\operatorname{tg} 420^\circ = \operatorname{tg} (360^\circ + 60^\circ) = \operatorname{tg} 60^\circ = \sqrt{3}$.
• $\sin 330^\circ = \sin (360^\circ — 30^\circ) = -\sin 30^\circ = -\frac{1}{2}$.

Таким образом:

$$\operatorname{tg} 420^\circ — 2 \sin 330^\circ = \sqrt{3} — 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = \sqrt{3} + 1.$$

Теперь умножаем полученные выражения:

$$(\sqrt{3} — 1)(\sqrt{3} + 1) = 3 — 1 = 2.$$

Шаг 2: Преобразуем правую часть уравнения

Теперь рассмотрим правую часть:

$$4 \cos^2 315^\circ.$$

2.1. Приводим угол $315^\circ$ к основному интервалу:

$\cos 315^\circ = \cos (360^\circ — 45^\circ) = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Тогда:

$$4 \cos^2 315^\circ = 4 \cdot \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 = 4 \cdot \frac{2}{4} = 2.$$

Что и требовалось доказать.

$$S = 2.$$