ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 15.21 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Дано выражение cos1° cos2° cos3° · … · cosn°.

а) При каких натуральных значениях n это выражение положительно?

б) При каких натуральных значениях n это выражение отрицательно?

в) При каких натуральных значениях n это выражение равно нулю?

Дано выражение:

$$S_n = \cos 1^\circ \cdot \cos 2^\circ \cdot \cos 3^\circ \cdot \ldots \cdot \cos n^\circ;$$

Если $n \leq 89$, тогда точка $n$ находится в первой четверти:

$$90^\circ = \frac{\pi \cdot 90^\circ}{180^\circ} = \frac{\pi}{2};$$ $$0 < n < \frac{\pi}{2};$$ $$\cos n^\circ > 0;$$ $$S_n > 0;$$

Если $n \geq 90$, тогда произведение всех косинусов равно нулю:

$$\cos n^\circ = \cos 90^\circ = \cos \frac{\pi}{2} = 0;$$ $$S_n = 0;$$

Ответ: а) при $n \leq 89$; б) ни при каких $n$; в) при $n \geq 90$.

Дано выражение:

$$S_n = \cos 1^\circ \cdot \cos 2^\circ \cdot \cos 3^\circ \cdot \ldots \cdot \cos n^\circ;$$

Наша цель — выяснить, при каких значениях $n$ произведение всех косинусов будет положительным, а при каких оно равно нулю.

1. Если $n \leq 89$:

Шаг 1: Определим, в какой четверти находится угол $n^\circ$ для $n \leq 89$

Рассмотрим угол $n^\circ$ при $n \leq 89$. Все углы в этом диапазоне находятся в первой четверти, где косинус всегда положителен.

• Углы от $0^\circ$ до $90^\circ$ (не включая $90^\circ$) лежат в первой четверти на единичной окружности. В этой четверти значение косинуса всегда положительное:

  $$\cos n^\circ > 0, \quad \text{для всех} \quad 0 < n < 90.$$

Шаг 2: Рассмотрим произведение для $n \leq 89$

Для каждого угла $n^\circ$, где $n \leq 89$, значение косинуса положительно, поэтому произведение всех косинусов также будет положительным. Для каждого $n^\circ$ в интервале от $1^\circ$ до $89^\circ \, \cos n^\circ > 0$.

Таким образом, для $n \leq 89$ произведение всех косинусов будет положительным:

$$S_n > 0.$$

Шаг 3: Подытожим для $n \leq 89$

• Все косинусы положительны, поэтому произведение будет положительным.
• Ответ: $S_n > 0$ при $n \leq 89$.

2. Если $n \geq 90$:

Шаг 1: Анализ угла $n^\circ$ при $n \geq 90$

Когда $n \geq 90$, значение $\cos n^\circ$ для $n = 90^\circ$ и для углов, больших $90^\circ$, становится равным нулю или отрицательным:

• $\cos 90^\circ = 0$, это известное значение.
• Для углов, больших $90^\circ$, косинус становится отрицательным и продолжает уменьшаться до $\cos 180^\circ = -1$.

Шаг 2: Преобразуем произведение

В выражении для $S_n$ присутствует множитель $\cos 90^\circ$, который равен нулю:

$$S_n = \cos 1^\circ \cdot \cos 2^\circ \cdot \ldots \cdot \cos 90^\circ \cdot \cos 91^\circ \cdot \ldots \cdot \cos n^\circ.$$

Как только в произведении появляется множитель $\cos 90^\circ = 0$, весь продукт становится равным нулю:

$$S_n = 0.$$

Шаг 3: Подытожим для $n \geq 90$

• С момента появления $\cos 90^\circ = 0$ произведение всех синусов становится равным нулю.
• Ответ: $S_n = 0$ при $n \geq 90$.

Итоговые ответы:

а) при $n \leq 89$: $S_n > 0$

б) ни при каких $n$: $S_n$ не может быть отрицательным, так как косинус для углов от $0^\circ$ до $90^\circ$ всегда положителен.

в) при $n \geq 90$: $S_n = 0$