ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 16.12 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $y = \sin\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) + \frac{1}{2}$;

б) $y = -\sin\left(x — \frac{\pi}{6}\right) + 2$;

в) $y = \sin(x — \pi) — 1$;

г) $y = -\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) — 2$

а) $y = \sin\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) + \frac{1}{2}$;

1. Построим график функции $y = \sin x$;
2. Переместим его на $\frac{2\pi}{3}$ единицы влево вдоль оси абсцисс;
3. Переместим новый график на $\frac{1}{2}$ единицы вверх вдоль оси ординат.

б) $y = -\sin\left(x — \frac{\pi}{6}\right) + 2$;

1. Построим график функции $y = \sin x$;
2. Переместим его на $\frac{\pi}{6}$ единиц вправо вдоль оси абсцисс;
3. Отразим полученный график относительно оси абсцисс;
4. Переместим новый график на 2 единицы вверх вдоль оси ординат.

в) $y = \sin(x — \pi) — 1$;

1. Построим график функции $y = \sin x$;
2. Переместим его на $\pi$ единиц вправо вдоль оси абсцисс;
3. Переместим новый график на 1 единицу вниз вдоль оси ординат.

г) $y = -\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) — 2$;

1. Построим график функции $y = \sin x$;
2. Переместим его на $\frac{\pi}{2}$ единицы влево вдоль оси абсцисс;
3. Отразим полученный график относительно оси абсцисс;
4. Переместим новый график на 2 единицы вниз вдоль оси ординат.

а) $y = \sin\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) + \frac{1}{2}$

Шаг 1: Построим график функции $y = \sin x$

График функции $y = \sin x$ представляет собой стандартную синусоиду, которая колеблется между значениями $-1$ и $1$ с периодом $2\pi$. График проходит через точки:

• $(0, 0)$ — начало цикла,
• $\left( \frac{\pi}{2}, 1 \right)$ — максимум,
• $(\pi, 0)$ — пересечение с осью $x$,
• $\left( \frac{3\pi}{2}, -1 \right)$ — минимум,
• $(2\pi, 0)$ — завершение цикла.

Шаг 2: Переместим его на $\frac{2\pi}{3}$ единицы влево вдоль оси абсцисс

Если в аргументе функции появляется выражение $(x + \frac{2\pi}{3})$, это означает сдвиг графика функции на $\frac{2\pi}{3}$ единицы влево вдоль оси абсцисс. Это происходит потому, что для того чтобы получить то же значение функции, теперь нужно уменьшить $x$ на $\frac{2\pi}{3}$. То есть, все точки графика сдвигаются влево на $\frac{2\pi}{3}$.

Шаг 3: Переместим новый график на $\frac{1}{2}$ единицы вверх вдоль оси ординат

Если к функции добавляется постоянное значение $+\frac{1}{2}$, это означает, что весь график будет сдвигаться на $\frac{1}{2}$ единицы вверх вдоль оси ординат. Все точки, которые раньше располагались на уровне $y = 0$, теперь будут на уровне $y = \frac{1}{2}$, и вся синусоида сдвинется вверх.

Результат:

График функции $y = \sin\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) + \frac{1}{2}$ будет сдвигаться:

• на $\frac{2\pi}{3}$ единицы влево вдоль оси абсцисс,
• на $\frac{1}{2}$ единицы вверх вдоль оси ординат.

б) $y = -\sin\left(x — \frac{\pi}{6}\right) + 2$

Шаг 1: Построим график функции $y = \sin x$

График функции $y = \sin x$ уже рассмотрен: это синусоида с периодом $2\pi$, колеблющаяся между $-1$ и $1$.

Шаг 2: Переместим его на $\frac{\pi}{6}$ единиц вправо вдоль оси абсцисс

Если в аргументе функции появляется выражение $(x — \frac{\pi}{6})$, это означает сдвиг графика на $\frac{\pi}{6}$ единицы вправо вдоль оси абсцисс. Для того чтобы получить те же значения функции, теперь нужно увеличить $x$ на $\frac{\pi}{6}$. То есть весь график будет сдвинут вправо на $\frac{\pi}{6}$.

Шаг 3: Отразим полученный график относительно оси абсцисс

Если перед функцией стоит минус, как в $-\sin x$, это означает отражение графика относительно оси абсцисс. Все значения функции, которые раньше были положительными, станут отрицательными, а отрицательные — положительными. То есть график будет отзеркален относительно оси $x$.

Шаг 4: Переместим новый график на 2 единицы вверх вдоль оси ординат

Если к функции прибавляется константа $+2$, это означает сдвиг всего графика на 2 единицы вверх вдоль оси ординат. Точки, которые раньше были на уровне $y = 0$, теперь будут находиться на уровне $y = 2$, и весь график сдвинется вверх.

Результат:

График функции $y = -\sin\left(x — \frac{\pi}{6}\right) + 2$ будет:

• сдвинут на $\frac{\pi}{6}$ единицы вправо вдоль оси абсцисс,
• отражён относительно оси абсцисс,
• сдвинут на 2 единицы вверх вдоль оси ординат.

в) $y = \sin(x — \pi) — 1$

Шаг 1: Построим график функции $y = \sin x$

График функции $y = \sin x$ — это синусоида, колеблющаяся от $-1$ до $1$ с периодом $2\pi$.

Шаг 2: Переместим его на $\pi$ единиц вправо вдоль оси абсцисс

Если в аргументе функции появляется выражение $(x — \pi)$, это означает сдвиг графика функции на $\pi$ единицы вправо вдоль оси абсцисс. Для того чтобы график пересёк ось $x$, нам нужно сдвигать его вправо на $\pi$, то есть точка пересечения с осью $x$ теперь будет в $x = \pi$.

Шаг 3: Переместим новый график на 1 единицу вниз вдоль оси ординат

Если от функции отнимается константа $-1$, это означает сдвиг графика на 1 единицу вниз вдоль оси ординат. Все точки, которые раньше располагались на уровне $y = 0$, теперь будут находиться на уровне $y = -1$, и весь график сдвинется вниз.

Результат:

График функции $y = \sin(x — \pi) — 1$ будет:

• сдвигаться на $\pi$ единиц вправо вдоль оси абсцисс,
• сдвигаться на 1 единицу вниз вдоль оси ординат.

г) $y = -\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) — 2$

Шаг 1: Построим график функции $y = \sin x$

Как и в предыдущих примерах, это стандартная синусоида, колеблющаяся от $-1$ до $1$ с периодом $2\pi$.

Шаг 2: Переместим его на $\frac{\pi}{2}$ единицы влево вдоль оси абсцисс

Если в аргументе функции появляется выражение $(x + \frac{\pi}{2})$, это означает сдвиг графика на $\frac{\pi}{2}$ единицы влево вдоль оси абсцисс. Для того чтобы достичь тех же значений функции, нужно уменьшить $x$ на $\frac{\pi}{2}$, то есть график будет сдвинут влево.

Шаг 3: Отразим полученный график относительно оси абсцисс

Если перед функцией стоит минус, это означает отражение графика относительно оси абсцисс. Таким образом, вся синусоида поменяет знак: максимумы и минимумы будут противоположны тем, что были.

Шаг 4: Переместим новый график на 2 единицы вниз вдоль оси ординат

Если от функции отнимается константа $-2$, это означает сдвиг всего графика на 2 единицы вниз вдоль оси ординат. Точки, которые раньше были на уровне $y = 0$, теперь будут находиться на уровне $y = -2$, и весь график сдвинется вниз.

Результат:

График функции $y = -\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) — 2$ будет:

• сдвинут на $\frac{\pi}{2}$ единицы влево вдоль оси абсцисс,
• отражён относительно оси абсцисс,
• сдвинут на 2 единицы вниз вдоль оси ординат.