ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 16.13 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y=\sin (x-\frac{\pi }{4})+0,5на\; промежутке:$$y = \sin\left(x — \frac{\pi}{4}\right) + 0,5:$

а) $\left[\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}\right]$

б) $\left(\frac{3\pi}{4}; \frac{9\pi}{4}\right)$

в) $[0; \pi)$

г) $\left[\frac{\pi}{4}; +\infty\right)$

Найти наименьшее и наибольшее значения функции:
$y = \sin\left(x — \frac{\pi}{4}\right) + 0,5:$

График данной функции является графиком функции $y = \sin x$, смещенным на $\frac{\pi}{4}$ единицы вправо и на 0,5 единицы вверх.

а) На промежутке $\left[\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}\right]$:

Рассмотрим функцию $y = \sin x$:

• Возрастает на $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$;

Значит данная функция:

• Возрастает на $\left[\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}\right]$;

Значения функции:

$$y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{4}\right) + 0,5 = \sin 0 + 0,5 = 0 + 0,5 = 0,5;$$ $$y\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{4} — \frac{\pi}{4}\right) + 0,5 = \sin \frac{\pi}{2} + 0,5 = 1 + 0,5 = 1,5;$$

Ответ: $y_{\text{наим}} = 0,5$; $y_{\text{наиб}} = 1,5$.

б) На промежутке $\left(\frac{3\pi}{4}; \frac{9\pi}{4}\right)$:

Рассмотрим функцию $y = \sin x$:

• Возрастает на $\left[\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right)$ и убывает на $\left(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$;

Значит данная функция:

• Возрастает на $\left[\frac{7\pi}{4}; \frac{9\pi}{4}\right)$ и убывает на $\left(\frac{3\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}\right]$;

Значения функции:

$$y\left(\frac{7\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{7\pi}{4} — \frac{\pi}{4}\right) + 0,5 = \sin \frac{3\pi}{2} + 0,5 = -1 + 0,5 = -0,5;$$ $$y\left(\frac{9\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{9\pi}{4} — \frac{\pi}{4}\right) + 0,5 = \sin 2\pi + 0,5 = 0 + 0,5 = 0,5;$$

Ответ: $y_{\text{наим}} = -0,5$; $y_{\text{наиб}}$ — нет.

в) На промежутке $[0; \pi)$:

Рассмотрим функцию $y = \sin x$:

• Возрастает на $\left[-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}\right]$ и убывает на $\left[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{4}\right]$;

Значит данная функция:

• Возрастает на $\left[0; \frac{3\pi}{4}\right]$ и убывает на $\left[\frac{3\pi}{4}; \pi\right)$;

Значения функции:

$$y(0) = \sin\left(0 — \frac{\pi}{4}\right) + 0,5 = -\sin \frac{\pi}{4} + 0,5 = -\frac{\sqrt{2}}{2} + 0,5 = \frac{1 — \sqrt{2}}{2};$$ $$y\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{4} — \frac{\pi}{4}\right) + 0,5 = \sin \frac{\pi}{2} + 0,5 = 1 + 0,5 = 1,5;$$ $$y(\pi) = \sin\left(\pi — \frac{\pi}{4}\right) + 0,5 = \sin \frac{3\pi}{4} + 0,5 = \frac{\sqrt{2}}{2} + 0,5 = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}.$$

Ответ: $y_{\text{наим}} = \frac{1 — \sqrt{2}}{2}$; $y_{\text{наиб}} = 1,5$.

г) На промежутке $\left[\frac{\pi}{4}; +\infty\right)$:

В промежуток входит полный период $T = 2\pi$ функции:

$$-1 \leq \sin\left(x — \frac{\pi}{4}\right) \leq 1;$$ $$-0,5 \leq \sin\left(x — \frac{\pi}{4}\right) + 0,5 \leq 1,5;$$

Ответ: $y_{\text{наим}} = -0,5$; $y_{\text{наиб}} = 1,5$.

Общая форма функции:

Функция $y = \sin\left(x — \frac{\pi}{4}\right) + 0,5$ является модификацией стандартной функции синуса. Сначала разберемся, что именно изменилось в её графике:

1. Сдвиг на $\frac{\pi}{4}$ единиц вправо — это сдвиг графика вдоль оси абсцисс.
2. Сдвиг на 0,5 единиц вверх — это сдвиг графика вдоль оси ординат.

График данной функции будет представлять собой синусоиду, сдвинутую вправо и вверх.

а) На промежутке $\left[\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}\right]$:

Шаг 1: Рассмотрим функцию $y = \sin x$

Функция $y = \sin x$ является стандартной синусоидой, которая:

• Возрастает на интервале $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$,
• Убывает на интервале $\left[\frac{\pi}{2}; 2\pi\right]$.

Шаг 2: Как это влияет на $y = \sin\left(x — \frac{\pi}{4}\right) + 0,5$

• На интервале $\left[\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}\right]$, функция возрастает, так как она сдвинута вправо на $\frac{\pi}{4}$.
• Таким образом, функция $y = \sin\left(x — \frac{\pi}{4}\right) + 0,5$ будет возрастать на этом промежутке.

Шаг 3: Найдем значения функции на концах промежутка

Для $x = \frac{\pi}{4}$:

$$y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{4}\right) + 0,5 = \sin(0) + 0,5 = 0 + 0,5 = 0,5$$

Для $x = \frac{3\pi}{4}$:

$$y\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{4} — \frac{\pi}{4}\right) + 0,5 = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 0,5 = 1 + 0,5 = 1,5$$

Шаг 4: Наименьшее и наибольшее значения

• $y_{\text{наим}} = 0,5$
• $y_{\text{наиб}} = 1,5$

б) На промежутке $\left(\frac{3\pi}{4}; \frac{9\pi}{4}\right)$:

Шаг 1: Рассмотрим функцию $y = \sin x$

Функция $y = \sin x$ возрастает на интервале $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$, убывает на интервале $\left[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$, и опять возрастает на интервале $\left[\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right]$.

Шаг 2: Как это влияет на $y = \sin\left(x — \frac{\pi}{4}\right) + 0,5$

• Функция будет возрастать на интервале $\left[\frac{7\pi}{4}; \frac{9\pi}{4}\right)$ и убывать на интервале $\left(\frac{3\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}\right]$, так как она сдвинута вправо на $\frac{\pi}{4}$.

Шаг 3: Найдем значения функции на концах промежутка

Для $x = \frac{7\pi}{4}$:

$$y\left(\frac{7\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{7\pi}{4} — \frac{\pi}{4}\right) + 0,5 = \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) + 0,5 = -1 + 0,5 = -0,5$$

Для $x = \frac{9\pi}{4}$:

$$y\left(\frac{9\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{9\pi}{4} — \frac{\pi}{4}\right) + 0,5 = \sin(2\pi) + 0,5 = 0 + 0,5 = 0,5$$

Шаг 4: Наименьшее и наибольшее значения

• $y_{\text{наим}} = -0,5$
• $y_{\text{наиб}}$ — не существует, так как максимума на данном промежутке не достигнут.

в) На промежутке $[0; \pi)$:

Шаг 1: Рассмотрим функцию $y = \sin x$

Функция $y = \sin x$ возрастает на интервале $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$ и убывает на интервале $\left[\frac{\pi}{2}; \pi\right]$.

Шаг 2: Как это влияет на $y = \sin\left(x — \frac{\pi}{4}\right) + 0,5$

• Функция будет возрастать на интервале $\left[0; \frac{3\pi}{4}\right]$ и убывать на интервале $\left[\frac{3\pi}{4}; \pi\right)$.

Шаг 3: Найдем значения функции на концах промежутка

Для $x = 0$:

$$y(0) = \sin\left(0 — \frac{\pi}{4}\right) + 0,5 = -\sin \frac{\pi}{4} + 0,5 = -\frac{\sqrt{2}}{2} + 0,5 = \frac{1 — \sqrt{2}}{2}$$

Для $x = \frac{3\pi}{4}$:

$$y\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{4} — \frac{\pi}{4}\right) + 0,5 = \sin \frac{\pi}{2} + 0,5 = 1 + 0,5 = 1,5$$

Для $x = \pi$:

$$y(\pi) = \sin\left(\pi — \frac{\pi}{4}\right) + 0,5 = \sin \frac{3\pi}{4} + 0,5 = \frac{\sqrt{2}}{2} + 0,5 = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$$

Шаг 4: Наименьшее и наибольшее значения

• $y_{\text{наим}} = \frac{1 — \sqrt{2}}{2}$
• $y_{\text{наиб}} = 1,5$

г) На промежутке $\left[\frac{\pi}{4}; +\infty\right)$:

В промежуток входит полный период $T = 2\pi$ функции:

$$-1 \leq \sin\left(x — \frac{\pi}{4}\right) \leq 1;$$ $$-0,5 \leq \sin\left(x — \frac{\pi}{4}\right) + 0,5 \leq 1,5;$$

Ответ:

• $y_{\text{наим}} = -0,5$
• $y_{\text{наиб}} = 1,5$

Итоговые результаты:

а) $y_{\text{наим}} = 0,5$; $y_{\text{наиб}} = 1,5$.

б) $y_{\text{наим}} = -0,5$; $y_{\text{наиб}}$ — не существует.

в) $y_{\text{наим}} = \frac{1 — \sqrt{2}}{2}$; $y_{\text{наиб}} = 1,5$.

г) $y_{\text{наим}} = -0,5$; $y_{\text{наиб}} = 1,5$.