ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 16.16 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Исследуйте функцию $y = \sin x$ на монотонность на заданном промежутке:

а) $[\frac{5\pi }{2};\frac{7\pi }{2}]$

б) $\left[-\frac{7\pi}{6}; \frac{\pi}{6}\right]$

в) $(\frac{11\pi }{3};\frac{25\pi }{6})$

г) $(\frac{\pi }{3};\frac{7\pi }{3})$

Исследовать функцию $y = \sin x$ на монотонность на заданном промежутке:

а) $\left[\frac{5\pi}{2}; \frac{7\pi}{2}\right] = \left[\frac{5\pi}{2} — 2\pi; \frac{7\pi}{2} — 2\pi\right] = \left[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$;

Ответ: убывает на $\left[\frac{5\pi}{2}; \frac{7\pi}{2}\right]$.

б) $\left[-\frac{7\pi}{6}; \frac{\pi}{6}\right]$;

Ответ: возрастает на $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{6}\right]$ и убывает на $\left[-\frac{7\pi}{6}; -\frac{\pi}{2}\right]$.

в) $\left(\frac{11\pi}{3}; \frac{25\pi}{6}\right) = \left(\frac{11\pi}{3} — 4\pi; \frac{25\pi}{6} — 4\pi\right) = \left(-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{6}\right)$;

Ответ: возрастает на $\left(\frac{11\pi}{3}; \frac{25\pi}{6}\right)$.

г) $\left(\frac{\pi}{3}; \frac{7\pi}{3}\right)$;

Ответ: возрастает на $\left(\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{2}\right) \cup \left[\frac{3\pi}{2}; \frac{7\pi}{3}\right)$ и убывает на $\left[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$.

Шаги для анализа монотонности:

1. Найдем производную функции $y = \sin x$, чтобы определить, где функция возрастает или убывает. Производная $y’$ функции $y = \sin x$ равна:

   $$y’ = \cos x.$$

2. Функция $\sin x$ возрастает на тех промежутках, где $\cos x > 0$, и убывает, где $\cos x < 0$. Период $\sin x$ — это $2\pi$, так что мы будем анализировать каждый промежуток, деля его на интервалы длиной $2\pi$, чтобы понять поведение функции.

Теперь давайте пошагово решим задачи для каждого из заданных промежутков.

а) Промежуток $\left[\frac{5\pi}{2}; \frac{7\pi}{2}\right]$

Приведем промежуток к стандартной форме для анализа:

$$\left[\frac{5\pi}{2}; \frac{7\pi}{2}\right] = \left[\frac{5\pi}{2} — 2\pi; \frac{7\pi}{2} — 2\pi\right] = \left[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right].$$

Мы видим, что этот промежуток является частью стандартного интервала для $\sin x$, от $\frac{\pi}{2}$ до $\frac{3\pi}{2}$.

Теперь посмотрим на поведение функции на интервале $\left[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$:

• $\cos x$ на этом интервале меняет знак:
  • $\cos x > 0$ на интервале $\left[\frac{\pi}{2}; \pi\right]$, то есть функция возрастает.
  • $\cos x < 0$ на интервале $\left[\pi; \frac{3\pi}{2}\right]$, то есть функция убывает.

Ответ: На интервале $\left[\frac{5\pi}{2}; \frac{7\pi}{2}\right]$ функция убывает.

Ответ: убывает на $\left[\frac{5\pi}{2}; \frac{7\pi}{2}\right]$.

б) Промежуток $\left[-\frac{7\pi}{6}; \frac{\pi}{6}\right]$

Здесь промежуток уже дан в стандартной форме, и мы можем сразу работать с ним: $\left[-\frac{7\pi}{6}; \frac{\pi}{6}\right]$.

Для анализа монотонности найдём, где $\cos x$ меняет знак на этом интервале:

• $\cos x > 0$ на интервале $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{6}\right]$, то есть функция возрастает.
• $\cos x < 0$ на интервале $\left[-\frac{7\pi}{6}; -\frac{\pi}{2}\right]$, то есть функция убывает.

Ответ: На интервале $\left[-\frac{7\pi}{6}; \frac{\pi}{6}\right]$ функция возрастает на $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{6}\right]$ и убывает на $\left[-\frac{7\pi}{6}; -\frac{\pi}{2}\right]$.

Ответ: возрастает на $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{6}\right]$ и убывает на $\left[-\frac{7\pi}{6}; -\frac{\pi}{2}\right]$.

в) Промежуток $\left(\frac{11\pi}{3}; \frac{25\pi}{6}\right)$

Преобразуем промежуток в стандартный вид:

$$\left(\frac{11\pi}{3}; \frac{25\pi}{6}\right) = \left(\frac{11\pi}{3} — 4\pi; \frac{25\pi}{6} — 4\pi\right) = \left(-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{6}\right).$$

Анализируем поведение функции $\sin x$ на интервале $\left(-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{6}\right)$:

• $\cos x > 0$ на интервале $\left(-\frac{\pi}{3}; 0\right)$, то есть функция возрастает.
• $\cos x < 0$ на интервале $\left(0; \frac{\pi}{6}\right)$, то есть функция убывает.

Ответ: На интервале $\left(\frac{11\pi}{3}; \frac{25\pi}{6}\right)$ функция возрастает.

Ответ: возрастает на $\left(\frac{11\pi}{3}; \frac{25\pi}{6}\right)$.

г) Промежуток $\left(\frac{\pi}{3}; \frac{7\pi}{3}\right)$

Преобразуем промежуток в стандартный вид:

$$\left(\frac{\pi}{3}; \frac{7\pi}{3}\right).$$

Теперь анализируем монотонность функции $\sin x$ на интервале $\left(\frac{\pi}{3}; \frac{7\pi}{3}\right)$:

• $\cos x > 0$ на интервале $\left(\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{2}\right)$ и на интервале $\left[\frac{3\pi}{2}; \frac{7\pi}{3}\right)$, то есть функция возрастает на этих интервалах.
• $\cos x < 0$ на интервале $\left[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$, то есть функция убывает на этом интервале.

Ответ: На интервале $\left(\frac{\pi}{3}; \frac{7\pi}{3}\right)$ функция возрастает на $\left(\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{2}\right) \cup \left[\frac{3\pi}{2}; \frac{7\pi}{3}\right)$ и убывает на $\left[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$.

Ответ: возрастает на $\left(\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{2}\right) \cup \left[\frac{3\pi}{2}; \frac{7\pi}{3}\right)$ и убывает на $\left[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$.

Итоговые ответы:

а) убывает на $\left[\frac{5\pi}{2}; \frac{7\pi}{2}\right]$.
б) возрастает на $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{6}\right]$ и убывает на $\left[-\frac{7\pi}{6}; -\frac{\pi}{2}\right]$.
в) возрастает на $\left(\frac{11\pi}{3}; \frac{25\pi}{6}\right)$.
г) возрастает на $\left(\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{2}\right) \cup \left[\frac{3\pi}{2}; \frac{7\pi}{3}\right)$ и убывает на $\left[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$.