ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 16.18 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что функция у = sinx:

а) возрастает на отрезке [12; 13];

б) убывает на интервале (8; 10);

в) достигает на интервале (7; 12) наименьшего и наибольшего значений;

г) не достигает на интервале (-1; 1) ни наименьшего, ни наибольшего значений.

Доказать, что функция $y = \sin x$:

а) Возрастает на отрезке $[12; 13]$;

$$\frac{7\pi}{2} < 12 < 13 < \frac{9\pi}{2};$$ $$[12; 13] \in \left[\frac{7\pi}{2}; \frac{9\pi}{2}\right] = \left[\frac{7\pi}{2} — 4\pi; \frac{9\pi}{2} — 4\pi\right] = \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right];$$

Что и требовалось доказать.

б) Убывает на интервале $(8; 10)$;

$$\frac{5\pi}{2} < 8 < 10 < \frac{7\pi}{2};$$ $$(8; 10) \in \left[\frac{5\pi}{2}; \frac{7\pi}{2}\right] = \left[\frac{5\pi}{2} — 2\pi; \frac{7\pi}{2} — 2\pi\right] = \left[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right];$$

Что и требовалось доказать.

в) Достигает на интервале $(7; 12)$ граничных значений:

$$7 < \frac{5\pi}{2} < \frac{7\pi}{2} < 12;$$ $$y\left(\frac{5\pi}{2}\right) = \sin \frac{5\pi}{2} = \sin \left(\frac{5\pi}{2} — 2\pi\right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1;$$ $$y\left(\frac{7\pi}{2}\right) = \sin \frac{7\pi}{2} = \sin \left(\frac{7\pi}{2} — 2\pi\right) = \sin \frac{3\pi}{2} = -1;$$ $$\frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2} \in (7; 12);$$

Что и требовалось доказать.

г) Не достигает на интервале $(-1; 1)$ граничных значений:

$$-\frac{\pi}{3} < -1 \leqslant 1 < \frac{\pi}{3};$$ $$(-1; 1) \in \left(-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3}\right);$$

Что и требовалось доказать.

Часть а) Возрастает на отрезке $[12; 13]$

Утверждение: Нужно доказать, что функция $y = \sin x$ возрастает на отрезке $[12; 13]$.

Исходные данные: Нам необходимо доказать, что функция $\sin x$ возрастает на отрезке $[12; 13]$. Для этого проверим производную функции $\sin x$, которая является $\cos x$, так как производная синуса — это косинус:

$$\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$$

Область, на которой мы работаем: Чтобы убедиться, что $\sin x$ возрастает на отрезке $[12; 13]$, мы должны проверить, что на этом отрезке $\cos x > 0$.

Преобразуем границы отрезка: Отрезок $[12; 13]$ нужно представить в виде интервала, который легче анализировать через углы, кратные $\pi$. Рассмотрим границы:

$$12 \text{ и } 13 \text{ выражаем через } \pi:$$ $$\frac{7\pi}{2} < 12 < 13 < \frac{9\pi}{2}$$

Смотрим на интервал $[12; 13]$ через промежутки, кратные $\pi$:
Преобразуем границы в радианы:

$$[12; 13] \in \left[\frac{7\pi}{2}; \frac{9\pi}{2}\right]$$

Теперь отнимаем $4\pi$ от обеих границ, чтобы получить более удобные пределы:

$$\left[\frac{7\pi}{2} — 4\pi; \frac{9\pi}{2} — 4\pi\right] = \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$$

Заключение: На интервале $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$, косинус функции $\cos x > 0$, так как на этом интервале косинус положителен.

Таким образом, $\sin x$ возрастает на отрезке $[12; 13]$, что и требовалось доказать.

Часть б) Убывает на интервале $(8; 10)$

Утверждение: Нужно доказать, что функция $\sin x$ убывает на интервале $(8; 10)$.

Исходные данные: Нам нужно доказать, что функция $\sin x$ убывает на интервале $(8; 10)$. Для этого исследуем производную $\cos x$.

Преобразуем границы интервала: Рассмотрим границы интервала $(8; 10)$ через радианы:

$$\frac{5\pi}{2} < 8 < 10 < \frac{7\pi}{2}$$

Представляем интервал через $\pi$:

Преобразуем границы в более удобный вид, вычитая $2\pi$:

$$(8; 10) \in \left[\frac{5\pi}{2}; \frac{7\pi}{2}\right]$$

Теперь вычитаем $2\pi$:

$$\left[\frac{5\pi}{2} — 2\pi; \frac{7\pi}{2} — 2\pi\right] = \left[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$$

Заключение: На интервале $\left[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$ косинус функции $\cos x < 0$, так как косинус отрицателен на этом интервале. Таким образом, функция $\sin x$ убывает на интервале $(8; 10)$.

Часть в) Достигает на интервале $(7; 12)$ граничных значений

Утверждение: Нужно доказать, что на интервале $(7; 12)$ функция $\sin x$ достигает граничных значений.

Исходные данные: Нам нужно найти граничные значения функции $\sin x$ на интервале $(7; 12)$.

Преобразуем границы интервала: Рассмотрим границы интервала $(7; 12)$:

$$7 < \frac{5\pi}{2} < \frac{7\pi}{2} < 12$$

Вычисляем значения функции на граничных точках:

• На точке $x = \frac{5\pi}{2}$, которая лежит на границе интервала:

  $$y\left(\frac{5\pi}{2}\right) = \sin \frac{5\pi}{2} = \sin \left( \frac{5\pi}{2} — 2\pi \right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1$$

• На точке $x = \frac{7\pi}{2}$, которая также лежит на границе интервала:

  $$y\left(\frac{7\pi}{2}\right) = \sin \frac{7\pi}{2} = \sin \left( \frac{7\pi}{2} — 2\pi \right) = \sin \frac{3\pi}{2} = -1$$

Заключение: Мы видим, что на интервале $(7; 12)$ функция $\sin x$ достигает граничных значений $1$ и $-1$ в точках $\frac{5\pi}{2}$ и $\frac{7\pi}{2}$, соответственно, что и требовалось доказать.

Часть г) Не достигает на интервале $(-1; 1)$ граничных значений

Утверждение: Нужно доказать, что на интервале $(-1; 1)$ функция $\sin x$ не достигает граничных значений.

Исходные данные: Интервал $(-1; 1)$ должен быть рассмотрен через углы, которые связаны с радианами.

Преобразуем интервал в радианы: Для этого смотрим, какие углы лежат в интервале $(-1; 1)$:

$$-\frac{\pi}{3} < -1 \leqslant 1 < \frac{\pi}{3}$$

Заключение: На интервале $\left(-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3}\right)$ функция $\sin x$ не достигает значений $-1$ и $1$, так как значение функции синуса на этом интервале остается внутри диапазона $[-1; 1]$, но не достигает крайних значений.

Таким образом, на интервале $(-1; 1)$ функция $\sin x$ не достигает граничных значений, что и требовалось доказать.

Итоговое решение:

• Функция $\sin x$ возрастает на отрезке $[12; 13]$.
• Функция $\sin x$ убывает на интервале $(8; 10)$.
• Функция $\sin x$ достигает граничных значений на интервале $(7; 12)$.
• Функция $\sin x$ не достигает граничных значений на интервале $(-1; 1)$.