ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 16.21 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $\sin (x-\frac{\pi }{3})=\pi -3x;$

б) $\sin x-\sqrt{x-\pi }=0;$$$$x_0 = \pi, \quad y_0 = 0;$

в) $\sin (x+\frac{\pi }{6})={(x-\frac{\pi }{3})}^2+1;$$$$x_0 = \frac{\pi}{3}, \quad y_0 = 1;$

г) $-\sin x=$$\sqrt{x}$

а)
$\sin \left( x — \frac{\pi}{3} \right) = \pi — 3x;$

$y = \sin \left( x — \frac{\pi}{3} \right)$ — уравнение синусоиды;

$y = \pi — 3x$ — уравнение прямой:

Графики функций:

Ответ: $x = \frac{\pi}{3}$.

б)
$\sin x — \sqrt{x — \pi} = 0;$

Преобразуем уравнение:
$\sin x = \sqrt{x — \pi};$

$y = \sin x$ — уравнение синусоиды;

$y = \sqrt{x — \pi}$ — уравнение ветви параболы:
$x_0 = \pi, \quad y_0 = 0;$

Графики функций:

Ответ: $x = \pi$.

в)
$\sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) = \left( x — \frac{\pi}{3} \right)^2 + 1;$

$y = \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right)$ — уравнение синусоиды;

$y = \left( x — \frac{\pi}{3} \right)^2 + 1$ — уравнение параболы:
$x_0 = \frac{\pi}{3}, \quad y_0 = 1;$

Графики функций:

Ответ: $x = \frac{\pi}{3}$.

г)
$-\sin x = \sqrt{x};$

Преобразуем уравнение:
$\sin x = -\sqrt{x};$

$y = \sin x$ — уравнение синусоиды;

$y = -\sqrt{x}$ — уравнение ветви параболы:
$x_0 = 0, \quad y_0 = 0;$

Графики функций:

Ответ: $x = 0$.

а) Уравнение:

$\sin \left( x — \frac{\pi}{3} \right) = \pi — 3x$

Исходные функции:

У нас две функции:

• $y_1 = \sin \left( x — \frac{\pi}{3} \right)$ — это синусоида, сдвинутая по оси $x$ на $\frac{\pi}{3}$ вправо.
• $y_2 = \pi — 3x$ — это прямая линия с угловым коэффициентом $-3$.

Графики функций:

Чтобы найти точку пересечения, подставим несколько значений $x$ в обе функции и вычислим $y$.

• Для $y_1 = \sin \left( x — \frac{\pi}{3} \right)$ подставляем:
  • $x = 0$: $y_1 = \sin \left( 0 — \frac{\pi}{3} \right) = \sin \left( -\frac{\pi}{3} \right) \approx -0.866$
  • $x = \frac{\pi}{3}$: $y_1 = \sin \left( \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{3} \right) = \sin(0) = 0$
  • $x = \frac{2\pi}{3}$: $y_1 = \sin \left( \frac{2\pi}{3} — \frac{\pi}{3} \right) = \sin \left( \frac{\pi}{3} \right) \approx 0.866$
• Для $y_2 = \pi — 3x$ подставляем:
  • $x = 0$: $y_2 = \pi — 3 \times 0 = \pi \approx 3.1416$
  • $x = \frac{\pi}{3}$: $y_2 = \pi — 3 \times \frac{\pi}{3} = \pi — \pi = 0$
  • $x = \frac{2\pi}{3}$: $y_2 = \pi — 3 \times \frac{2\pi}{3} = \pi — 2\pi = -\pi \approx -3.1416$

Нахождение точки пересечения:

Мы ищем такие значения $x$, при которых значения функций $y_1$ и $y_2$ совпадают. Из таблицы видно, что при $x = \frac{\pi}{3}$, значения обеих функций равны 0. Таким образом, точка пересечения — $x = \frac{\pi}{3}$.

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{3}$$

б) Уравнение:

$\sin x — \sqrt{x — \pi} = 0$

Преобразование уравнения:

Переносим $\sin x$ на правую сторону:

$$\sin x = \sqrt{x — \pi}$$

Для того чтобы это уравнение имело решение, важно, чтобы $x — \pi \geq 0$, то есть $x \geq \pi$.

Графики функций:

Подставляем несколько значений $x$:

• Для $y_1 = \sin x$:
  • $x = \pi$: $y_1 = \sin(\pi) = 0$
  • $x = \frac{4\pi}{3}$: $y_1 = \sin\left( \frac{4\pi}{3} \right) \approx -0.866$
• Для $y_2 = \sqrt{x — \pi}$:
  • $x = \pi$: $y_2 = \sqrt{\pi — \pi} = 0$
  • $x = \frac{4\pi}{3}$: $y_2 = \sqrt{\frac{4\pi}{3} — \pi} = \sqrt{\frac{\pi}{3}} \approx 1$

Нахождение точки пересечения:

Для значений $x = \pi$ и $x = \frac{4\pi}{3}$, функция $\sin x$ равна 0, а функция $\sqrt{x — \pi}$ равна 0. Это дает нам решение $x = \pi$.

Ответ:

$$x = \pi$$

в) Уравнение:

$\sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) = \left( x — \frac{\pi}{3} \right)^2 + 1$

Исходные функции:

• $y_1 = \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right)$ — синусоида, сдвинутая на $\frac{\pi}{6}$ влево.
• $y_2 = \left( x — \frac{\pi}{3} \right)^2 + 1$ — парабола, сдвинутая на $\frac{\pi}{3}$ вправо и на 1 вверх.

Графики функций:

Подставляем несколько значений $x$:

• Для $y_1 = \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right)$:
  • $x = 0$: $y_1 = \sin \left( 0 + \frac{\pi}{6} \right) = \sin \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{2}$
  • $x = \frac{\pi}{3}$: $y_1 = \sin \left( \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} \right) = \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) = 1$
  • $x = \frac{2\pi}{3}$: $y_1 = \sin \left( \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{6} \right) = \sin \left( \frac{5\pi}{6} \right) \approx 0.866$
• Для $y_2 = \left( x — \frac{\pi}{3} \right)^2 + 1$:
  • $x = 0$: $y_2 = \left( 0 — \frac{\pi}{3} \right)^2 + 1 = \left( -\frac{\pi}{3} \right)^2 + 1 \approx 1.349$
  • $x = \frac{\pi}{3}$: $y_2 = \left( \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{3} \right)^2 + 1 = 0^2 + 1 = 1$
  • $x = \frac{2\pi}{3}$: $y_2 = \left( \frac{2\pi}{3} — \frac{\pi}{3} \right)^2 + 1 = \left( \frac{\pi}{3} \right)^2 + 1 \approx 1.349$

Нахождение точки пересечения:

Мы видим, что при $x = \frac{\pi}{3}$ обе функции равны 1. Это точка пересечения.

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{3}$$

г) Уравнение:

$-\sin x = \sqrt{x}$

Преобразование уравнения:

Преобразуем уравнение:

$$\sin x = -\sqrt{x}$$

Для того чтобы это уравнение имело решение, важно, чтобы $x \geq 0$, так как $\sqrt{x}$ определено только для неотрицательных $x$.

Графики функций:

Подставляем несколько значений $x$:

• Для $y_1 = \sin x$:
  • $x = 0$: $y_1 = \sin(0) = 0$
  • $x = 1$: $y_1 = \sin(1) \approx 0.841$
  • $x = 4$: $y_1 = \sin(4) \approx -0.756$
• Для $y_2 = -\sqrt{x}$:
  • $x = 0$: $y_2 = -\sqrt{0} = 0$
  • $x = 1$: $y_2 = -\sqrt{1} = -1$
  • $x = 4$: $y_2 = -\sqrt{4} = -2$

Нахождение точки пересечения:

Мы видим, что при $x = 0$ обе функции равны 0. Это точка пересечения.

Ответ:

$$x = 0$$

Итоговые ответы:

• $x = \frac{\pi}{3}$
• $x = \pi$
• $x = \frac{\pi}{3}$
• $x = 0$