ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 16.22 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите значение выражения $\frac{1}{\cos x}$, если:

а) $x=\frac{2\pi }{3}$;

б) $x=\frac{11\pi }{6}$

Найти значение выражения $\frac{1}{\cos x}$, если:

а) $x=\frac{2\pi }{3}$;

$$\frac{1}{\cos x}=\frac{1}{\cos \frac{2\pi }{3}}=1:(-\frac{1}{2})=-2;$$

Ответ: $-2$.

б) $x=\frac{11\pi }{6}$;

$$\frac{1}{\cos x}=\frac{1}{\cos \frac{11\pi }{6}}=1:\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3};$$

Ответ: $\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Найти значение выражения $\frac{1}{\cos x}$ при различных значениях угла $x$.

а) $x=\frac{2\pi }{3}$

Определим значение $\cos \frac{2\pi }{3}$:

Мы знаем, что углы на круге можно описывать с помощью единичной окружности, где:

• $\cos \theta$ — это абсцисса точки на окружности для угла $\theta$.

Угол $\frac{2\pi }{3}$ находится в второй четверти, где косинус всегда отрицателен. Для угла $\frac{2\pi }{3}$ можно воспользоваться симметрией окружности относительно второй четверти.

Угол $\frac{2\pi }{3}$ имеет симметричный угол $\frac{\pi }{3}$ в первой четверти (положительный угол). Для угла $\frac{\pi }{3}$ известно, что:

$$\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}\mathrm{.}$$

Поскольку угол $\frac{2\pi }{3}$ находится во второй четверти, то значение косинуса для этого угла будет отрицательным:

$$\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}\mathrm{.}$$

Подставим $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$ в выражение $\frac{1}{\cos x}$:

Подставляем значение $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$ в исходное выражение:

$$\frac{1}{\cos \frac{2\pi }{3}}=\frac{1}{-\frac{1}{2}}\mathrm{.}$$

Выполним деление:

Деление на дробь можно преобразовать как умножение на обратную дробь:

$$\frac{1}{-\frac{1}{2}}=1\times (-2)=-2.$$

Таким образом, значение выражения при $x=\frac{2\pi }{3}$ равно $-2$.

Ответ: $-2$.

б) $x=\frac{11\pi }{6}$

Определим значение $\cos \frac{11\pi }{6}$:

Угол $\frac{11\pi }{6}$ находится в четвертой четверти, где косинус положителен. Для определения значения косинуса этого угла воспользуемся тем, что угол $\frac{11\pi }{6}$ симметричен углу $\frac{\pi }{6}$ (первоначально положительный угол).

Для угла $\frac{\pi }{6}$ известно, что:

$$\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{.}$$

Поскольку угол $\frac{11\pi }{6}$ находится в четвертой четверти, косинус этого угла тоже будет положительным:

$$\cos \frac{11\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{.}$$

Подставим $\cos \frac{11\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ в выражение $\frac{1}{\cos x}$:

Подставляем значение $\cos \frac{11\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ в исходное выражение:

$$\frac{1}{\cos \frac{11\pi }{6}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\mathrm{.}$$

Выполним деление:

Деление на дробь также можно преобразовать в умножение на обратную дробь:

$$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=1\times \frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\mathrm{.}$$

Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$ для рационализации знаменателя:

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$$\frac{2}{\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\mathrm{.}$$

Таким образом, значение выражения при $x=\frac{11\pi }{6}$ равно $\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Итоговые ответы:

а) $x=\frac{2\pi }{3}$, результат: $-2$.

б) $x=\frac{11\pi }{6}$, результат: $\frac{2\sqrt{3}}{3}$.