ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 16.25 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Принадлежит ли графику функции $y = 2 \cos \left( x — \frac{\pi}{6} \right) + 1$ точка с координатами:

а) $(0; \sqrt{3} + 1)$;

б) $\left( \frac{\pi}{6}; 1 \right)$;

в) $\left( \frac{\pi}{2}; 2 \right)$;

г) $(\frac{\pi }{6};3)$

Выяснить принадлежит ли графику функции $y = 2 \cos \left( x — \frac{\pi}{6} \right) + 1$:

а) Точка $(0; \sqrt{3} + 1)$;

$$y(0) = 2 \cos \left( 0 — \frac{\pi}{6} \right) + 1 = 2 \cos \frac{\pi}{6} + 1 = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 = \sqrt{3} + 1;$$

Ответ: да.

б) Точка $\left( \frac{\pi}{6}; 1 \right)$;

$$y \left( \frac{\pi}{6} \right) = 2 \cos \left( \frac{\pi}{6} — \frac{\pi}{6} \right) + 1 = 2 \cos 0 + 1 = 2 \cdot 1 + 1 = 3;$$

Ответ: нет.

в) Точка $\left( \frac{\pi}{2}; 2 \right)$;

$$y \left( \frac{\pi}{2} \right) = 2 \cos \left( \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{6} \right) + 1 = 2 \cos \left( \frac{3\pi}{6} — \frac{\pi}{6} \right) + 1 = 2 \cos \frac{2\pi}{6} + 1;$$ $$y \left( \frac{\pi}{2} \right) = 2 \cos \frac{\pi}{3} + 1 = 2 \cdot \frac{1}{2} + 1 = 1 + 1 = 2;$$

Ответ: да.

г) Точка $\left( \frac{\pi}{6}; 3 \right)$;

$$y \left( \frac{\pi}{6} \right) = 2 \cos \left( \frac{\pi}{6} — \frac{\pi}{6} \right) + 1 = 2 \cos 0 + 1 = 2 \cdot 1 + 1 = 3;$$

Ответ: да.

Необходимо выяснить, принадлежит ли точка графику функции $y = 2 \cos \left( x — \frac{\pi}{6} \right) + 1$. Для каждой точки мы проверим, равна ли её координата $y$ значению функции в данной точке.

а) Точка $(0; \sqrt{3} + 1)$

Шаг 1: Подставим значение $x = 0$ в функцию $y = 2 \cos \left( x — \frac{\pi}{6} \right) + 1$.

Нам нужно найти значение функции при $x = 0$:

$$y(0) = 2 \cos \left( 0 — \frac{\pi}{6} \right) + 1$$

Шаг 2: Упростим выражение.

Используем свойство косинуса, что $\cos \left( 0 — \frac{\pi}{6} \right) = \cos \left( -\frac{\pi}{6} \right)$, а косинус является чётной функцией, то есть $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$. Следовательно:

$$y(0) = 2 \cos \frac{\pi}{6} + 1$$

Шаг 3: Найдем значение $\cos \frac{\pi}{6}$.

Из таблицы значений тригонометрических функций известно:

$$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Тогда:

$$y(0) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 = \sqrt{3} + 1$$

Шаг 4: Сравним полученное значение с координатой точки.

Координата точки $y$ равна $\sqrt{3} + 1$. Мы нашли, что $y(0) = \sqrt{3} + 1$, что совпадает с координатой точки.

Ответ для а): Да, точка принадлежит графику функции.

б) Точка $\left( \frac{\pi}{6}; 1 \right)$

Шаг 1: Подставим значение $x = \frac{\pi}{6}$ в функцию $y = 2 \cos \left( x — \frac{\pi}{6} \right) + 1$.

Нам нужно найти значение функции при $x = \frac{\pi}{6}$:

$$y \left( \frac{\pi}{6} \right) = 2 \cos \left( \frac{\pi}{6} — \frac{\pi}{6} \right) + 1$$

Шаг 2: Упростим выражение.

Так как $\frac{\pi}{6} — \frac{\pi}{6} = 0$, то:

$$y \left( \frac{\pi}{6} \right) = 2 \cos 0 + 1$$

Шаг 3: Найдем значение $\cos 0$.

Из таблицы значений тригонометрических функций известно:

$$\cos 0 = 1$$

Тогда:

$$y \left( \frac{\pi}{6} \right) = 2 \cdot 1 + 1 = 2 + 1 = 3$$

Шаг 4: Сравним полученное значение с координатой точки.

Координата точки $y$ равна 1. Мы нашли, что $y \left( \frac{\pi}{6} \right) = 3$, что не совпадает с координатой точки.

Ответ для б): Нет, точка не принадлежит графику функции.

в) Точка $\left( \frac{\pi}{2}; 2 \right)$

Шаг 1: Подставим значение $x = \frac{\pi}{2}$ в функцию $y = 2 \cos \left( x — \frac{\pi}{6} \right) + 1$.

Нам нужно найти значение функции при $x = \frac{\pi}{2}$:

$$y \left( \frac{\pi}{2} \right) = 2 \cos \left( \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{6} \right) + 1$$

Шаг 2: Упростим выражение.

Вычитаем углы:

$$\frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} — \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$$

Тогда:

$$y \left( \frac{\pi}{2} \right) = 2 \cos \frac{\pi}{3} + 1$$

Шаг 3: Найдем значение $\cos \frac{\pi}{3}$.

Из таблицы значений тригонометрических функций известно:

$$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$$

Тогда:

$$y \left( \frac{\pi}{2} \right) = 2 \cdot \frac{1}{2} + 1 = 1 + 1 = 2$$

Шаг 4: Сравним полученное значение с координатой точки.

Координата точки $y$ равна 2. Мы нашли, что $y \left( \frac{\pi}{2} \right) = 2$, что совпадает с координатой точки.

Ответ для в): Да, точка принадлежит графику функции.

г) Точка $\left( \frac{\pi}{6}; 3 \right)$

Шаг 1: Подставим значение $x = \frac{\pi}{6}$ в функцию $y = 2 \cos \left( x — \frac{\pi}{6} \right) + 1$.

Нам нужно найти значение функции при $x = \frac{\pi}{6}$:

$$y \left( \frac{\pi}{6} \right) = 2 \cos \left( \frac{\pi}{6} — \frac{\pi}{6} \right) + 1$$

Шаг 2: Упростим выражение.

Так как $\frac{\pi}{6} — \frac{\pi}{6} = 0$, то:

$$y \left( \frac{\pi}{6} \right) = 2 \cos 0 + 1$$

Шаг 3: Найдем значение $\cos 0$.

Из таблицы значений тригонометрических функций известно:

$$\cos 0 = 1$$

Тогда:

$$y \left( \frac{\pi}{6} \right) = 2 \cdot 1 + 1 = 2 + 1 = 3$$

Шаг 4: Сравним полученное значение с координатой точки.

Координата точки $y$ равна 3. Мы нашли, что $y \left( \frac{\pi}{6} \right) = 3$, что совпадает с координатой точки.

Ответ для г): Да, точка принадлежит графику функции.

Итоговый ответ:

а) Да
б) Нет
в) Да
г) Да