ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 16.26 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у = cosx:

а) На отрезке $\left[ \frac{\pi}{6}; \frac{2\pi}{3} \right]$;

б) На интервале $\left( -\pi; \frac{\pi}{4} \right)$;

в) На луче $\left[ -\frac{\pi}{4}; +\infty \right)$;

г) На полуинтервале $\left[ -\frac{\pi}{3}; \frac{3\pi}{2} \right)$

Найти наименьшее и наибольшее значения функции $y = \cos x$:

а) На отрезке $\left[ \frac{\pi}{6}; \frac{2\pi}{3} \right]$;

Функция убывает на $\left[ \frac{\pi}{6}; \frac{2\pi}{3} \right]$:

$$y\left( \frac{\pi}{6} \right) = \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$y\left( \frac{2\pi}{3} \right) = \cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2};$$

Ответ: $y_{\text{наим}} = -\frac{1}{2}$; $y_{\text{наиб}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

б) На интервале $\left( -\pi; \frac{\pi}{4} \right)$;

Функция возрастает на $(- \pi; 0]$ и убывает на $[0; \frac{\pi}{4})$:

$$y(-\pi) = \cos(-\pi) = \cos \pi = -1;$$ $$y(0) = \cos 0 = 1;$$ $$y\left( \frac{\pi}{4} \right) = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2};$$

Ответ: $y_{\text{наим}} = -1$; $y_{\text{наиб}} = 1$.

в) На луче $\left[ -\frac{\pi}{4}; +\infty \right)$;

В промежуток входит полный период $T = 2\pi$ функции:

$$-1 \leq \cos x \leq 1;$$

Ответ: $y_{\text{наим}} = -1$; $y_{\text{наиб}} = 1$.

г) На полуинтервале $\left[ -\frac{\pi}{3}; \frac{3\pi}{2} \right)$;

В промежуток входят значения $x = 0$ и $x = \pi$:

$$y(0) = \cos 0 = 1;$$ $$y(\pi) = \cos \pi = -1;$$

Ответ: $y_{\text{наим}} = -1$; $y_{\text{наиб}} = 1$.

а) На отрезке $\left[ \frac{\pi}{6}; \frac{2\pi}{3} \right]$

Шаг 1: Проанализируем поведение функции на отрезке.

Функция $y = \cos x$ является убывающей на отрезке $\left[ \frac{\pi}{6}; \frac{2\pi}{3} \right]$, так как её производная $y’ = -\sin x$ отрицательна на этом промежутке (все значения синуса на этом интервале отрицательны). Следовательно, косинус будет уменьшаться от $\frac{\pi}{6}$ до $\frac{2\pi}{3}$.

Шаг 2: Найдем значение функции на концах отрезка.

$y\left( \frac{\pi}{6} \right) = \cos \frac{\pi}{6}$:

Из таблицы значений косинуса:

$$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Таким образом:

$$y\left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

$y\left( \frac{2\pi}{3} \right) = \cos \frac{2\pi}{3}$:

Из таблицы значений косинуса:

$$\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$$

Таким образом:

$$y\left( \frac{2\pi}{3} \right) = -\frac{1}{2}$$

Шаг 3: Находим наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке.

Так как функция убывает, наибольшее значение будет на левом конце отрезка, а наименьшее — на правом:

$$y_{\text{наиб}} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad y_{\text{наим}} = -\frac{1}{2}$$

Ответ для а): $y_{\text{наим}} = -\frac{1}{2}$, $y_{\text{наиб}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

б) На интервале $\left( -\pi; \frac{\pi}{4} \right)$

Шаг 1: Проанализируем поведение функции на интервале.

Функция $y = \cos x$ на интервале $\left( -\pi; \frac{\pi}{4} \right)$ сначала возрастает на промежутке $(-\pi; 0]$, а затем убывает на промежутке $[0; \frac{\pi}{4})$.

1. На промежутке $(-\pi; 0]$, где $x$ от $-\pi$ до $0$, функция возрастает, так как производная $y’ = -\sin x$ положительна на этом интервале (синус на этом промежутке отрицателен).
2. На промежутке $[0; \frac{\pi}{4})$, функция убывает, так как производная $y’ = -\sin x$ отрицательна (синус на этом промежутке положителен).

Шаг 2: Найдем значения функции на ключевых точках.

$y(-\pi) = \cos(-\pi) = \cos \pi = -1$

Таким образом:

$$y(-\pi) = -1$$

$y(0) = \cos 0 = 1$

Таким образом:

$$y(0) = 1$$

$y\left( \frac{\pi}{4} \right) = \cos \frac{\pi}{4}$

Из таблицы значений косинуса:

$$\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Таким образом:

$$y\left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 3: Находим наименьшее и наибольшее значения функции на интервале.

1. Функция возрастает на промежутке $(-\pi; 0]$, поэтому наибольшее значение будет при $x = 0$, а наименьшее — при $x = -\pi$.
2. Функция убывает на промежутке $[0; \frac{\pi}{4})$, так что значение функции при $x = \frac{\pi}{4}$ будет меньше, чем при $x = 0$.

Таким образом:

$$y_{\text{наиб}} = 1, \quad y_{\text{наим}} = -1$$

Ответ для б): $y_{\text{наим}} = -1$, $y_{\text{наиб}} = 1$.

в) На луче $\left[ -\frac{\pi}{4}; +\infty \right)$

Шаг 1: Проанализируем поведение функции на луче.

Функция $y = \cos x$ имеет период $T = 2\pi$, поэтому на промежутке $\left[ -\frac{\pi}{4}; +\infty \right)$ она будет повторять своё поведение по периодам. Таким образом, на любом отрезке длиной $2\pi$, включая этот луч, функция будет принимать все значения от $-1$ до $1$.

Шаг 2: Находим наименьшее и наибольшее значения функции.

Так как функция косинуса имеет наибольшее значение $1$ и наименьшее значение $-1$ на каждом периоде, на всем промежутке функция будет принимать эти значения.

Ответ для в): $y_{\text{наим}} = -1$, $y_{\text{наиб}} = 1$.

г) На полуинтервале $\left[ -\frac{\pi}{3}; \frac{3\pi}{2} \right)$

Шаг 1: Проанализируем поведение функции на полуинтервале.

На полуинтервале $\left[ -\frac{\pi}{3}; \frac{3\pi}{2} \right)$ функция $y = \cos x$ будет изменяться от значения при $x = -\frac{\pi}{3}$ до значения при $x = \frac{3\pi}{2}$. На этом полуинтервале косинус сначала убывает от $\frac{\pi}{3}$ до $\pi$, а затем снова возрастает.

Шаг 2: Найдем значения функции на ключевых точках.

1. $y(0) = \cos 0 = 1$
2. $y(\pi) = \cos \pi = -1$

Шаг 3: Находим наименьшее и наибольшее значения функции на полуинтервале.

Значение функции на полуинтервале будет варьироваться от $1$ до $-1$, так как $y(0) = 1$, а $y(\pi) = -1$.

Ответ для г): $y_{\text{наим}} = -1$, $y_{\text{наиб}} = 1$.

Итоговые ответы:

а) $y_{\text{наим}} = -\frac{1}{2}$, $y_{\text{наиб}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

б) $y_{\text{наим}} = -1$, $y_{\text{наиб}} = 1$

в) $y_{\text{наим}} = -1$, $y_{\text{наиб}} = 1$

г) $y_{\text{наим}} = -1$, $y_{\text{наиб}} = 1$