ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 16.27 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Исследуйте функцию на четность:

а) $f(x) = \sin x \cdot \cos x$;

б) $f(x) = \frac{\cos x^3}{4 — x^2}$;

в) $f(x) = \frac{\cos x^3}{x(25 — x^2)}$;

г) $f(x) = (4 + \cos x)(\sin^6 x — 1)$

Исследовать функцию на четность:

а) $f(x) = \sin x \cdot \cos x$;
$f(-x) = \sin(-x) \cdot \cos(-x) = -\sin x \cdot \cos x = -f(x)$;
Ответ: нечетная.

б) $f(x) = \frac{\cos x^3}{4 — x^2}$;
$f(-x) = \frac{\cos(-x)^3}{4 — (-x)^2} = \frac{\cos(-x^3)}{4 — x^2} = \frac{\cos x^3}{4 — x^2} = f(x)$;
Ответ: четная.

в) $f(x) = \frac{\cos x^3}{x(25 — x^2)}$;
$f(-x) = \frac{\cos(-x)^3}{-x(25 — (-x)^2)} = \frac{\cos(-x^3)}{-x(25 — x^2)} = -\frac{\cos x^3}{x(25 — x^2)} = -f(x)$;
Ответ: нечетная.

г) $f(x) = (4 + \cos x)(\sin^6 x — 1)$;
$f(-x) = (4 + \cos(-x))(\sin^6(-x) — 1)$;
$f(-x) = (4 + \cos x)((-\sin x)^6 — 1) = (4 + \cos x)(\sin^6 x — 1) = f(x)$;
Ответ: четная.

Исследование функции на четность.

Чтобы исследовать функцию на четность, необходимо вычислить $f(-x)$ и сравнить его с $f(x)$. Если $f(-x) = f(x)$, то функция четная, если $f(-x) = -f(x)$, то функция нечетная. В противном случае функция не является ни четной, ни нечетной.

а) $f(x) = \sin x \cdot \cos x$

Шаг 1: Подставим $-x$ в функцию $f(x)$.

$$f(-x) = \sin(-x) \cdot \cos(-x)$$

Шаг 2: Используем свойства синуса и косинуса.

1. $\sin(-x) = -\sin(x)$ (синус — нечетная функция).
2. $\cos(-x) = \cos(x)$ (косинус — четная функция).

Таким образом:

$$f(-x) = (-\sin(x)) \cdot \cos(x) = -\sin(x) \cdot \cos(x) = -f(x)$$

Шаг 3: Вывод.

Мы видим, что $f(-x) = -f(x)$, значит, функция нечетная.

Ответ для а): нечетная.

б) $f(x) = \frac{\cos x^3}{4 — x^2}$

Шаг 1: Подставим $-x$ в функцию $f(x)$.

$$f(-x) = \frac{\cos((-x)^3)}{4 — (-x)^2}$$

Шаг 2: Упростим выражение.

1. $(-x)^3 = -x^3$, так как куб отрицательного числа остаётся отрицательным.
2. $(-x)^2 = x^2$, так как квадрат отрицательного числа остаётся положительным.

Подставляем в выражение:

$$f(-x) = \frac{\cos(-x^3)}{4 — x^2}$$

Шаг 3: Используем свойства косинуса.

Косинус — четная функция, то есть $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$. Следовательно:

$$f(-x) = \frac{\cos(x^3)}{4 — x^2}$$

Шаг 4: Сравним $f(-x)$ с $f(x)$.

Мы видим, что $f(-x) = f(x)$, значит, функция четная.

Ответ для б): четная.

в) $f(x) = \frac{\cos x^3}{x(25 — x^2)}$

Шаг 1: Подставим $-x$ в функцию $f(x)$.

$$f(-x) = \frac{\cos((-x)^3)}{-x(25 — (-x)^2)}$$

Шаг 2: Упростим выражение.

1. $(-x)^3 = -x^3$.
2. $(-x)^2 = x^2$.

Подставляем в выражение:

$$f(-x) = \frac{\cos(-x^3)}{-x(25 — x^2)}$$

Шаг 3: Используем свойства косинуса.

Косинус — четная функция, то есть $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$. Следовательно:

$$f(-x) = \frac{\cos(x^3)}{-x(25 — x^2)}$$

Шаг 4: Сравним $f(-x)$ с $f(x)$.

Мы видим, что $f(-x) = -\frac{\cos(x^3)}{x(25 — x^2)} = -f(x)$, значит, функция нечетная.

Ответ для в): нечетная.

г) $f(x) = (4 + \cos x)(\sin^6 x — 1)$

Шаг 1: Подставим $-x$ в функцию $f(x)$.

$$f(-x) = (4 + \cos(-x))(\sin^6(-x) — 1)$$

Шаг 2: Используем свойства синуса и косинуса.

1. $\cos(-x) = \cos(x)$ (косинус — четная функция).
2. $\sin(-x) = -\sin(x)$ (синус — нечетная функция), и $(\sin(-x))^6 = (\sin(x))^6$, так как степень чётная.

Таким образом:

$$f(-x) = (4 + \cos(x))((-\sin(x))^6 — 1) = (4 + \cos(x))(\sin^6(x) — 1)$$

Шаг 3: Сравним $f(-x)$ с $f(x)$.

Мы видим, что $f(-x) = f(x)$, значит, функция четная.

Ответ для г): четная.

Итоговые ответы:

а) нечетная
б) четная
в) нечетная
г) четная