ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 16.29 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите область значений заданной функции на заданном промежутке:

а) $y=\sin x$, $x\in [\frac{\pi }{3};\frac{7\pi }{3}]$;

б) $y=\cos x$, $x\in (1;+\mathrm{\infty })$;

в) $y=\sin x$, $x\in (-1;6)$;

г) $y=\cos x$, $x\in [1,2;7,5]$

Найти область значений функции на заданном промежутке:

а) $y=\sin x$, $x\in [\frac{\pi }{3};\frac{7\pi }{3}]$;

В промежуток входит полный период $T=2\pi$ функции:
$l=\frac{7\pi }{3}-\frac{\pi }{3}=\frac{6\pi }{3}=2\pi ;$
$-1\le \sin x\le 1;$
Ответ: $y\in [-1;1]$.

б) $y=\cos x$, $x\in (1;+\mathrm{\infty })$;

В промежуток входит полный период $T=2\pi$ функции:
$-1\le \cos x\le 1;$
Ответ: $y\in [-1;1]$.

в) $y=\sin x$, $x\in (-1;6)$;

В промежуток входит полный период $T=2\pi$ функции:
$l=6-(-1)=6+1=7>2\pi ;$
$-1\le \sin x\le 1;$
Ответ: $y\in [-1;1]$.

г) $y=\cos x$, $x\in [1,2;7,5]$;

В промежуток входит полный период $T=2\pi$ функции:
$l=7,5-1,2=6,3>2\pi ;$
$-1\le \cos x\le 1;$
Ответ: $y\in [-1;1]$.

Для нахождения области значений функции на заданном промежутке, нужно изучить поведение функции на этом промежутке и определить все возможные значения, которые функция может принимать. Важно учитывать, если на промежутке входят несколько полных периодов функции (для периодических функций), или если промежуток охватывает только часть периода.

Рассмотрим каждый случай по очереди.

а) $y=\sin x$, $x\in [\frac{\pi }{3};\frac{7\pi }{3}]$

Шаг 1: Определим длину промежутка.

Прежде всего, найдем длину промежутка $l$:

$$l=\frac{7\pi }{3}-\frac{\pi }{3}=\frac{6\pi }{3}=2\pi$$

Этот промежуток равен одному полному периоду функции $\sin x$, так как период синуса равен $T=2\pi$.

Шаг 2: Найдем область значений функции на этом промежутке.

Поскольку функция $y=\sin x$ является периодической с периодом $2\pi$, то она принимает все значения от $-1$ до $1$ на любом промежутке длиной $2\pi$. Таким образом, на данном промежутке функция $\sin x$ будет принимать все значения от $-1$ до $1$.

Шаг 3: Вывод.

Область значений функции на промежутке $[\frac{\pi }{3};\frac{7\pi }{3}]$ равна:

$$y\in [-1;1]$$

Ответ для а): $y\in [-1;1]$

б) $y=\cos x$, $x\in (1;+\mathrm{\infty })$

Шаг 1: Определим поведение функции на промежутке.

Поскольку функция $y=\cos x$ является периодической с периодом $T=2\pi$, и промежуток $(1;+\mathrm{\infty })$ охватывает несколько полных периодов функции, она будет принимать все значения от $-1$ до $1$ для каждого полного периода.

Шаг 2: Найдем область значений функции на этом промежутке.

Функция косинуса, как и синус, имеет период $T=2\pi$, и на любом промежутке длиной $2\pi$, а также на более длинных промежутках, она будет принимать все значения от $-1$ до $1$.

Шаг 3: Вывод.

Область значений функции на промежутке $(1;+\mathrm{\infty })$ также равна:

$$y\in [-1;1]$$

Ответ для б): $y\in [-1;1]$

в) $y=\sin x$, $x\in (-1;6)$

Шаг 1: Определим длину промежутка.

Для нахождения длины промежутка:

$$l=6-(-1)=6+1=7$$

Этот промежуток длиной 7 больше, чем один период функции $y=\sin x$, так как период синуса $T=2\pi \approx 6.28$. Таким образом, на данном промежутке входят более чем два полных периода функции.

Шаг 2: Найдем область значений функции на этом промежутке.

Поскольку функция $y=\sin x$ принимает все значения от $-1$ до $1$ на каждом полном периоде, на промежутке длиной больше двух полных периодов она будет принимать все значения от $-1$ до $1$ (на промежутке длиной 7).

Шаг 3: Вывод.

Область значений функции на промежутке $(-1;6)$ будет:

$$y\in [-1;1]$$

Ответ для в): $y\in [-1;1]$

г) $y=\cos x$, $x\in [1.2;7.5]$

Шаг 1: Определим длину промежутка.

Для нахождения длины промежутка:

$$l=7.5-1.2=6.3$$

Этот промежуток длиной 6.3 больше одного полного периода функции $y=\cos x$, так как период косинуса $T=2\pi \approx 6.28$. Следовательно, на промежутке $[1.2;7.5]$ будет два полных периода функции косинуса.

Шаг 2: Найдем область значений функции на этом промежутке.

Функция косинуса, как и синус, принимает все значения от $-1$ до $1$ на каждом полном периоде. Поскольку на промежутке входят два полных периода, функция будет принимать все значения от $-1$ до $1$.

Шаг 3: Вывод.

Область значений функции на промежутке $[1.2;7.5]$ равна:

$$y\in [-1;1]$$

Ответ для г): $y\in [-1;1]$

Итоговые ответы:

а) $y\in [-1;1]$

б) $y\in [-1;1]$

в) $y\in [-1;1]$

г) $y\in [-1;1]$