ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 16.31 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите основной период функции:

а) $y=\sin 2x$

б) $y=\cos 3x$

в) $y=\sin \frac{x}{2}$

г) $y=\cos \frac{3x}{4}$

Основным периодом функций $y = \sin x$ и $y = \cos x$ является число $2\pi$.

а) $y = \sin 2x$

Основной период функции:
$y(x + T) = y(x);$
$\sin(2 \cdot (x + T)) = \sin 2x;$
$\sin(2x + 2T) = \sin 2x;$
$2T = 2\pi \quad \Rightarrow \quad T = \pi;$

Ответ: $T = \pi$.

б) $y = \cos 3x$

Основной период функции:
$y(x + T) = y(x);$
$\cos(3 \cdot (x + T)) = \cos 3x;$
$\cos(3x + 3T) = \cos 3x;$
$3T = 2\pi \quad \Rightarrow \quad T = \frac{2\pi}{3};$

Ответ: $T = \frac{2\pi}{3}$.

в) $y = \sin \frac{x}{2}$

Основной период функции:
$y(x + T) = y(x);$
$\sin \frac{x + T}{2} = \sin \frac{x}{2};$
$\sin \left( \frac{x}{2} + \frac{1}{2}T \right) = \sin \frac{x}{2};$
$\frac{1}{2}T = 2\pi \quad \Rightarrow \quad T = 4\pi;$

Ответ: $T = 4\pi$.

г) $y = \cos \frac{3x}{4}$

Основной период функции:
$y(x + T) = y(x);$
$\cos \frac{3(x + T)}{4} = \cos \frac{3x}{4};$
$\cos \left( \frac{3x}{4} + \frac{3}{4}T \right) = \cos \frac{3x}{4};$
$\frac{3}{4}T = 2\pi \quad \Rightarrow \quad T = \frac{8\pi}{3};$

Ответ: $T = \frac{8\pi}{3}$.

Основной период функции определяет минимальное значение $T$, для которого выполняется условие:

$$y(x + T) = y(x),$$

то есть функция повторяется через каждый период $T$. Период определяется для тригонометрических функций, таких как синус и косинус, с учетом их аргументов и коэффициентов.

Теперь давайте рассмотрим каждое тождество, объяснив шаги для нахождения периода для каждой из функций.

а) $y = \sin 2x$

Шаг 1: Основное условие для периода.

Для функции $y = \sin 2x$, нам нужно найти такой период $T$, для которого выполняется равенство:

$$y(x + T) = y(x).$$

Подставляем функцию $y = \sin 2x$ в это условие:

$$\sin(2(x + T)) = \sin 2x.$$

Шаг 2: Упростим выражение.

Используем свойство синуса, что $\sin(\theta + 2k\pi) = \sin(\theta)$ для любого целого $k$, чтобы определить период. Раскроем скобки:

$$\sin(2x + 2T) = \sin 2x.$$

Здесь мы видим, что $2T$ должно быть кратно $2\pi$, так как период функции синуса равен $2\pi$. Следовательно:

$$2T = 2\pi \quad \Rightarrow \quad T = \pi.$$

Шаг 3: Вывод.

Период функции $y = \sin 2x$ равен $T = \pi$.

Ответ для а): $T = \pi$.

б) $y = \cos 3x$

Шаг 1: Основное условие для периода.

Для функции $y = \cos 3x$, аналогично, нам нужно найти такой период $T$, при котором выполняется равенство:

$$y(x + T) = y(x).$$

Подставляем функцию $y = \cos 3x$ в это условие:

$$\cos(3(x + T)) = \cos 3x.$$

Шаг 2: Упростим выражение.

Раскроем скобки:

$$\cos(3x + 3T) = \cos 3x.$$

Чтобы функция косинуса повторялась, выражение $3T$ должно быть кратно $2\pi$ (период функции косинуса равен $2\pi$):

$$3T = 2\pi \quad \Rightarrow \quad T = \frac{2\pi}{3}.$$

Шаг 3: Вывод.

Период функции $y = \cos 3x$ равен $T = \frac{2\pi}{3}$.

Ответ для б): $T = \frac{2\pi}{3}$.

в) $y = \sin \frac{x}{2}$

Шаг 1: Основное условие для периода.

Для функции $y = \sin \frac{x}{2}$, мы снова ищем такой период $T$, при котором выполняется равенство:

$$y(x + T) = y(x).$$

Подставляем функцию $y = \sin \frac{x}{2}$ в это условие:

$$\sin \frac{x + T}{2} = \sin \frac{x}{2}.$$

Шаг 2: Упростим выражение.

Раскроем скобки:

$$\sin \left( \frac{x}{2} + \frac{1}{2}T \right) = \sin \frac{x}{2}.$$

Чтобы функция синуса повторялась, выражение $\frac{1}{2}T$ должно быть кратно $2\pi$ (период функции синуса равен $2\pi$):

$$\frac{1}{2}T = 2\pi \quad \Rightarrow \quad T = 4\pi.$$

Шаг 3: Вывод.

Период функции $y = \sin \frac{x}{2}$ равен $T = 4\pi$.

Ответ для в): $T = 4\pi$.

г) $y = \cos \frac{3x}{4}$

Шаг 1: Основное условие для периода.

Для функции $y = \cos \frac{3x}{4}$, находим такой период $T$, при котором выполняется равенство:

$$y(x + T) = y(x).$$

Подставляем функцию $y = \cos \frac{3x}{4}$ в это условие:

$$\cos \frac{3(x + T)}{4} = \cos \frac{3x}{4}.$$

Шаг 2: Упростим выражение.

Раскроем скобки:

$$\cos \left( \frac{3x}{4} + \frac{3}{4}T \right) = \cos \frac{3x}{4}.$$

Чтобы функция косинуса повторялась, выражение $\frac{3}{4}T$ должно быть кратно $2\pi$:

$$\frac{3}{4}T = 2\pi \quad \Rightarrow \quad T = \frac{8\pi}{3}.$$

Шаг 3: Вывод.

Период функции $y = \cos \frac{3x}{4}$ равен $T = \frac{8\pi}{3}$.

Ответ для г): $T = \frac{8\pi}{3}$.

Итоговые ответы:

а) $T = \pi$

б) $T = \frac{2\pi}{3}$

в) $T = 4\pi$

г) $T = \frac{8\pi}{3}$