ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 16.37 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $y = \sin^2 x — 6 \sin x + 8$

б) $y = \sqrt{2 — \cos x}$

в) $y = \cos^2 x + \cos x + 2$

г) $y = \sqrt{8 \sin x — 4}$

Найти область значений функции:

а) $y = \sin^2 x — 6 \sin x + 8$;

Пусть $t = \sin x$, тогда на отрезке $[-1; 1]$:

$y = t^2 — 6t + 8;$

Абсцисса вершины параболы:

$t_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3 > 1;$

Значения функции:

$y(-1) = (-1)^2 — 6 \cdot (-1) + 8 = 1 + 6 + 8 = 15;$
$y(1) = 1^2 — 6 \cdot 1 + 8 = 1 — 6 + 8 = 3;$

Ответ: $y \in [3; 15]$.

б) $y = \sqrt{2 — \cos x}$;

$-1 \leq \cos x \leq 1;$
$-1 \leq -\cos x \leq 1;$
$1 \leq 2 — \cos x \leq 3;$
$1 \leq \sqrt{2 — \cos x} \leq \sqrt{3};$

Ответ: $y \in [1; \sqrt{3}]$.

в) $y = \cos^2 x + \cos x + 2$;

Пусть $t = \cos x$, тогда на отрезке $[-1; 1]$:

$y = t^2 + t + 2;$

Абсцисса вершины параболы:

$t_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -0,5;$

Значения функции:

$y(-1) = (-1)^2 — 1 + 2 = 1 — 1 + 2 = 2;$
$y\left(-\frac{1}{2}\right) = \left(-0,5\right)^2 — 0,5 + 2 = 0,25 — 0,5 + 2 = 1,75;$
$y(1) = 1^2 + 1 + 2 = 1 + 1 + 2 = 4;$

Ответ: $y \in [1,75; 4]$.

г) $y = \sqrt{8 \sin x — 4}$;

$-1 \leq \sin x \leq 1;$
$-8 \leq 8 \sin x \leq 8;$
$-12 \leq 8 \sin x — 4 \leq 4;$
$0 \leq \sqrt{8 \sin x — 4} \leq 2;$

Ответ: $y \in [0; 2]$.

Для нахождения области значений функции важно понимать, как изменяются значения тригонометрических функций при различных значениях аргумента. Мы будем использовать периодичность функций синуса и косинуса, а также их ограничения, чтобы найти область значений каждой функции.

а) $y = \sin^2 x — 6 \sin x + 8$

Шаг 1: Преобразование функции

Пусть $t = \sin x$. Тогда на отрезке $[-1; 1]$ функция примет вид:

$$y = t^2 — 6t + 8.$$

Наша задача — найти область значений этой функции, где $t$ ограничено интервалом $[-1; 1]$.

Шаг 2: Определим вершину параболы

Это квадратная функция от $t$, которая представляет собой параболу. Чтобы найти минимальное или максимальное значение функции, нужно найти абсциссу вершины параболы. Формула для абсциссы вершины параболы $y = at^2 + bt + c$ имеет вид:

$$t_0 = -\frac{b}{2a}.$$

Для функции $y = t^2 — 6t + 8$ коэффициенты следующие: $a = 1$, $b = -6$, и $c = 8$. Подставим эти значения в формулу для вершины:

$$t_0 = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3.$$

Однако $t_0 = 3$ лежит за пределами интервала $[-1; 1]$, поэтому вершина параболы не влияет на область значений на этом интервале.

Шаг 3: Рассчитаем значения функции на границах интервала

Теперь вычислим значения функции на границах интервала $t = -1$ и $t = 1$.

Для $t = -1$:

$$y(-1) = (-1)^2 — 6(-1) + 8 = 1 + 6 + 8 = 15.$$

Для $t = 1$:

$$y(1) = 1^2 — 6(1) + 8 = 1 — 6 + 8 = 3.$$

Шаг 4: Вывод

Так как функция $y = t^2 — 6t + 8$ — парабола, и вершина её не находится в пределах интервала, то область значений функции будет от минимального значения на $t = 1$ до максимального на $t = -1$. Следовательно:

$$y \in [3; 15].$$

Ответ для а): $y \in [3; 15]$.

б) $y = \sqrt{2 — \cos x}$

Шаг 1: Определим область значений для $\cos x$

Косинус ограничен интервалом $[-1; 1]$:

$$-1 \leq \cos x \leq 1.$$

Шаг 2: Преобразуем $2 — \cos x$

Теперь преобразуем выражение $2 — \cos x$. Поскольку $\cos x$ лежит в интервале $[-1; 1]$, мы вычитаем его из 2:

$$2 — (-1) \leq 2 — \cos x \leq 2 — 1,$$

что даёт:

$$3 \leq 2 — \cos x \leq 3.$$

Шаг 3: Применим квадратный корень

Теперь рассматриваем функцию $y = \sqrt{2 — \cos x}$. Так как $2 — \cos x$ лежит в интервале от 1 до 3, берем квадратный корень от этого выражения:

$$\sqrt{1} \leq \sqrt{2 — \cos x} \leq \sqrt{3}.$$

Таким образом:

$$1 \leq \sqrt{2 — \cos x} \leq \sqrt{3}.$$

Ответ для б): $y \in [1; \sqrt{3}]$.

в) $y = \cos^2 x + \cos x + 2$

Шаг 1: Пусть $t = \cos x$

Теперь рассмотрим функцию, выраженную через $t = \cos x$. Тогда:

$$y = t^2 + t + 2.$$

Наша цель — найти область значений функции на интервале $t \in [-1; 1]$.

Шаг 2: Определим вершину параболы

Это квадратная функция от $t$, и чтобы найти её минимальное или максимальное значение, нужно найти абсциссу вершины параболы. Формула для абсциссы вершины параболы $y = at^2 + bt + c$ имеет вид:

$$t_0 = -\frac{b}{2a}.$$

Для функции $y = t^2 + t + 2$ коэффициенты: $a = 1$, $b = 1$, $c = 2$. Подставим эти значения:

$$t_0 = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -0.5.$$

Абсцисса вершины находится за пределами интервала $[-1; 1]$, так что мы будем работать с границами интервала.

Шаг 3: Рассчитаем значения функции на границах интервала

Для $t = -1$:

$$y(-1) = (-1)^2 + (-1) + 2 = 1 — 1 + 2 = 2.$$

Для $t = 1$:

$$y(1) = 1^2 + 1 + 2 = 1 + 1 + 2 = 4.$$

Шаг 4: Вывод

Таким образом, область значений функции $y = t^2 + t + 2$ на интервале $t \in [-1; 1]$ будет от 2 до 4. Функция возрастает на этом интервале, следовательно:

$$y \in [1.75; 4].$$

Ответ для в): $y \in [1.75; 4]$.

г) $y = \sqrt{8 \sin x — 4}$

Шаг 1: Определим область значений для $\sin x$

Синус ограничен интервалом:

$$-1 \leq \sin x \leq 1.$$

Шаг 2: Преобразуем $8 \sin x — 4$

Теперь рассмотрим выражение $8 \sin x — 4$. Умножим $\sin x$ на 8:

$$-8 \leq 8 \sin x \leq 8.$$

Затем вычитаем 4 из всех значений:

$$-8 — 4 \leq 8 \sin x — 4 \leq 8 — 4,$$

что даёт:

$$-12 \leq 8 \sin x — 4 \leq 4.$$

Шаг 3: Применим квадратный корень

Теперь рассматриваем выражение $y = \sqrt{8 \sin x — 4}$. Так как $8 \sin x — 4$ лежит в интервале от -12 до 4, но под корнем может быть только неотрицательное число, нас интересует только положительная часть:

$$0 \leq 8 \sin x — 4 \leq 4.$$

Таким образом, мы можем брать квадратный корень от всех значений:

$$0 \leq \sqrt{8 \sin x — 4} \leq 2.$$

Ответ для г): $y \in [0; 2]$.

Итоговые ответы:

а) $y \in [3; 15]$

б) $y \in [1; \sqrt{3}]$

в) $y \in [1.75; 4]$

г) $y \in [0; 2]$