ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 16.38 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите все целочисленные значения функции:

а) $y = 5 + 4 \cos x$;

б) $y = \sqrt{2 — 7 \cos x}$;

в) $y = 3 — 2 \sin x$;

г) $y=\sqrt{11+2\sin x}$

Найти все целочисленные значения функции:

а) $y = 5 + 4 \cos x$;

$$-1 \leq \cos x \leq 1;$$ $$-4 \leq 4 \cos x \leq 4;$$ $$1 \leq 5 + 4 \cos x \leq 9;$$

Ответ: $1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9$.

б) $y = \sqrt{2 — 7 \cos x}$;

$$-1 \leq \cos x \leq 1;$$ $$-7 \leq -7 \cos x \leq 7;$$ $$-5 \leq 2 — 7 \cos x \leq 9;$$ $$0 \leq \sqrt{2 — 7 \cos x} \leq 3;$$

Ответ: $0; 1; 2; 3$.

в) $y = 3 — 2 \sin x$;

$$-1 \leq \sin x \leq 1;$$ $$-2 \leq -2 \sin x \leq 2;$$ $$1 \leq 3 — 2 \sin x \leq 5;$$

Ответ: $1; 2; 3; 4; 5$.

г) $y = \sqrt{11 + 2 \sin x}$;

$$-1 \leq \sin x \leq 1;$$ $$-2 \leq 2 \sin x \leq 2;$$ $$9 \leq 11 + 2 \sin x \leq 13;$$ $$9 \leq 11 + 2 \sin x < 16;$$ $$3 \leq \sqrt{11 + 2 \sin x} < 4;$$

Ответ: $3$.

а) $y = 5 + 4 \cos x$

1. Оценка диапазона значений функции $\cos x$

Известно, что функция $\cos x$ для всех значений $x$ принимает значения в интервале от -1 до 1:

$$-1 \leq \cos x \leq 1$$

2. Преобразуем выражение для $y$

Наша цель — найти все целочисленные значения функции $y = 5 + 4 \cos x$.

Чтобы найти диапазон значений функции $y$, умножим всю неравенство $-1 \leq \cos x \leq 1$ на 4:

$$4 \cdot (-1) \leq 4 \cos x \leq 4 \cdot 1$$ $$-4 \leq 4 \cos x \leq 4$$

Теперь добавим 5 ко всем частям этого неравенства:

$$5 + (-4) \leq 5 + 4 \cos x \leq 5 + 4$$ $$1 \leq 5 + 4 \cos x \leq 9$$

3. Найдем целочисленные значения $y$

Поскольку $y$ лежит в интервале от 1 до 9, то целочисленные значения функции $y = 5 + 4 \cos x$ будут все целые числа от 1 до 9, включая 1 и 9.

Ответ: $1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9$.

б) $y = \sqrt{2 — 7 \cos x}$

1. Оценка диапазона значений функции $\cos x$

Как и в предыдущем примере, функция $\cos x$ принимает значения от -1 до 1:

$$-1 \leq \cos x \leq 1$$

2. Преобразуем выражение для $y$

Наша цель — найти все целочисленные значения функции $y = \sqrt{2 — 7 \cos x}$.

Сначала преобразуем выражение под квадратным корнем. Умножим всё неравенство $-1 \leq \cos x \leq 1$ на -7:

$$-7 \cdot (-1) \leq -7 \cos x \leq -7 \cdot 1$$ $$-7 \leq -7 \cos x \leq 7$$

Теперь добавим 2 ко всем частям этого неравенства:

$$2 — 7 \leq 2 — 7 \cos x \leq 2 + 7$$ $$-5 \leq 2 — 7 \cos x \leq 9$$

3. Оценка значения под квадратным корнем

Так как под квадратным корнем должно быть неотрицательное число, нас интересует только тот диапазон значений, который приводит к положительным результатам. То есть, мы должны иметь:

$$2 — 7 \cos x \geq 0$$

Из неравенства $-5 \leq 2 — 7 \cos x \leq 9$ видно, что минимальное значение $2 — 7 \cos x$ равно -5, что недопустимо для извлечения квадратного корня. Однако, так как значение функции $y = \sqrt{2 — 7 \cos x}$ не может быть отрицательным, нам нужно рассмотреть только те значения, для которых выражение под корнем является положительным.

Следовательно, границы для $y$ будут такими:

$$0 \leq \sqrt{2 — 7 \cos x} \leq 3$$

4. Целочисленные значения

Мы видим, что $\sqrt{2 — 7 \cos x}$ может принимать целочисленные значения от 0 до 3 включительно.

Ответ: $0; 1; 2; 3$.

в) $y = 3 — 2 \sin x$

1. Оценка диапазона значений функции $\sin x$

Функция $\sin x$ для всех значений $x$ также принимает значения от -1 до 1:

$$-1 \leq \sin x \leq 1$$

2. Преобразуем выражение для $y$

Наша цель — найти все целочисленные значения функции $y = 3 — 2 \sin x$.

Для начала умножим неравенство $-1 \leq \sin x \leq 1$ на -2:

$$-2 \cdot (-1) \leq -2 \sin x \leq -2 \cdot 1$$ $$-2 \leq -2 \sin x \leq 2$$

Теперь добавим 3 ко всем частям этого неравенства:

$$3 — 2 \leq 3 — 2 \sin x \leq 3 + 2$$ $$1 \leq 3 — 2 \sin x \leq 5$$

3. Целочисленные значения

Поскольку $y$ лежит в интервале от 1 до 5, целочисленные значения функции $y = 3 — 2 \sin x$ будут все целые числа от 1 до 5, включая 1 и 5.

Ответ: $1; 2; 3; 4; 5$.

г) $y = \sqrt{11 + 2 \sin x}$

1. Оценка диапазона значений функции $\sin x$

Функция $\sin x$ опять же принимает значения от -1 до 1:

$$-1 \leq \sin x \leq 1$$

2. Преобразуем выражение для $y$

Наша цель — найти все целочисленные значения функции $y = \sqrt{11 + 2 \sin x}$.

Умножим неравенство $-1 \leq \sin x \leq 1$ на 2:

$$2 \cdot (-1) \leq 2 \sin x \leq 2 \cdot 1$$ $$-2 \leq 2 \sin x \leq 2$$

Теперь добавим 11 ко всем частям этого неравенства:

$$11 — 2 \leq 11 + 2 \sin x \leq 11 + 2$$ $$9 \leq 11 + 2 \sin x \leq 13$$

3. Оценка значения под квадратным корнем

Теперь, так как под квадратным корнем всегда должно быть неотрицательное число, мы видим, что $11 + 2 \sin x$ принимает значения в диапазоне от 9 до 13. Это дает следующие пределы для $y$:

$$\sqrt{9} \leq \sqrt{11 + 2 \sin x} \leq \sqrt{13}$$

Пределы корня $\sqrt{9} = 3$ и $\sqrt{13} \approx 3.61$. Следовательно, целые значения функции $y = \sqrt{11 + 2 \sin x}$ лежат в интервале от 3 до 4, но $\sqrt{11 + 2 \sin x}$ не достигает 4, так как верхний предел строго меньше 4.

Ответ: $3$.

Итоговые ответы:

а) $1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9$

б) $0; 1; 2; 3$

в) $1; 2; 3; 4; 5$

г) $3$