ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 16.4 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = \sin x$:

а) На отрезке $\left[ \frac{\pi}{4}; \frac{2\pi}{3} \right]$;

б) На луче $\left[ \frac{\pi}{4}; +\infty \right)$;

в) На интервале $\left( -\frac{3\pi}{2}; \frac{3\pi}{4} \right)$;

г) На полуинтервале $\left( -\pi; \frac{\pi}{3} \right]$

Найти наименьшее и наибольшее значения функции $y = \sin x$:

а) На отрезке $\left[ \frac{\pi}{4}; \frac{2\pi}{3} \right]$;

Функция возрастает на $\left[ \frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2} \right]$ и убывает на $\left[ \frac{\pi}{2}; \frac{2\pi}{3} \right]$:

$$y\left( \frac{\pi}{4} \right) = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$y\left( \frac{\pi}{2} \right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1;$$ $$y\left( \frac{2\pi}{3} \right) = \sin \frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2};$$

Ответ: $y_{\text{наим}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$; $y_{\text{наиб}} = 1$.

б) На луче $\left[ \frac{\pi}{4}; +\infty \right)$;

В промежуток входит полный период $T = 2\pi$ функции:

$$l = \frac{3\pi}{4} — \left( -\frac{3\pi}{2} \right) = \frac{3\pi}{4} + \frac{6\pi}{4} = \frac{9\pi}{4} > 2\pi;$$ $$-1 \leq \sin x \leq 1;$$

Ответ: $y_{\text{наим}} = -1$; $y_{\text{наиб}} = 1$.

в) На интервале $\left( -\frac{3\pi}{2}; \frac{3\pi}{4} \right)$;

В промежуток входит полный период $T = 2\pi$ функции:

$$l = \frac{3\pi}{4} — \left( -\frac{3\pi}{2} \right) = \frac{3\pi}{4} + \frac{6\pi}{4} = \frac{9\pi}{4} > 2\pi;$$ $$-1 \leq \sin x \leq 1;$$

Ответ: $y_{\text{наим}} = -1$; $y_{\text{наиб}} = 1$.

г) На полуинтервале $\left( -\pi; \frac{\pi}{3} \right]$;

Функция возрастает на $\left[ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{3} \right]$ и убывает на $\left( -\pi; -\frac{\pi}{2} \right]$:

$$y(-\pi) = \sin(-\pi) = -\sin \pi = 0;$$ $$y\left( -\frac{\pi}{2} \right) = \sin\left( -\frac{\pi}{2} \right) = -\sin \frac{\pi}{2} = -1;$$ $$y\left( \frac{\pi}{3} \right) = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2};$$

Ответ: $y_{\text{наим}} = -1$; $y_{\text{наиб}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

а) На отрезке $\left[ \frac{\pi}{4}; \frac{2\pi}{3} \right]$

Шаг 1: Проанализируем поведение функции на отрезке

Функция $y = \sin x$ имеет свойство, что она возрастает на интервале $\left[ 0; \frac{\pi}{2} \right]$ и убывает на интервале $\left[ \frac{\pi}{2}; \pi \right]$. В данном случае отрезок $\left[ \frac{\pi}{4}; \frac{2\pi}{3} \right]$ можно разбить на два интервала:

1. $\left[ \frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2} \right]$, где синус возрастает;
2. $\left[ \frac{\pi}{2}; \frac{2\pi}{3} \right]$, где синус убывает.

Шаг 2: Найдем значение функции в концах отрезка

Теперь найдем значения функции на концах отрезка и в промежуточных точках.

• Для $x = \frac{\pi}{4}$:

$$y \left( \frac{\pi}{4} \right) = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

• Для $x = \frac{\pi}{2}$:

$$y \left( \frac{\pi}{2} \right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1.$$

• Для $x = \frac{2\pi}{3}$:

$$y \left( \frac{2\pi}{3} \right) = \sin \frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Шаг 3: Определим наименьшее и наибольшее значение функции

• На отрезке $\left[ \frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2} \right]$ функция возрастает, и значение функции в точке $\frac{\pi}{2}$ будет наибольшим, а в точке $\frac{\pi}{4}$ — наименьшим.
• На отрезке $\left[ \frac{\pi}{2}; \frac{2\pi}{3} \right]$ функция убывает, и значение функции в точке $\frac{\pi}{2}$ будет наибольшим, а в точке $\frac{2\pi}{3}$ — наименьшим.

Итак, наибольшее значение функции равно $1$, а наименьшее — $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ для (а):

• Наименьшее значение: $y_{\text{наим}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
• Наибольшее значение: $y_{\text{наиб}} = 1$

б) На луче $\left[ \frac{\pi}{4}; +\infty \right)$

Шаг 1: Проанализируем поведение функции на луче

Функция $y = \sin x$ является периодической с периодом $2\pi$. Это значит, что на интервале $\left[ \frac{\pi}{4}; +\infty \right)$ будут повторяться значения синуса с периодом $2\pi$.

Шаг 2: Определим наименьшее и наибольшее значение функции

• На промежутке $\left[ \frac{\pi}{4}; +\infty \right)$ синус будет изменяться в пределах от $-1$ до $1$, так как для всех значений $x$ синус принимает значения в этом интервале.

Так как синус имеет период $2\pi$, минимальное значение функции $y = \sin x$ равно $-1$, а максимальное — $1$.

Ответ для (б):

• Наименьшее значение: $y_{\text{наим}} = -1$
• Наибольшее значение: $y_{\text{наиб}} = 1$

в) На интервале $\left( -\frac{3\pi}{2}; \frac{3\pi}{4} \right)$

Шаг 1: Проанализируем поведение функции на интервале

Сначала заметим, что на интервале $\left( -\frac{3\pi}{2}; \frac{3\pi}{4} \right)$ функция $y = \sin x$ будет проходить полный период функции (период $2\pi$). Таким образом, на этом интервале синус будет принимать все значения от $-1$ до $1$.

Шаг 2: Определим наименьшее и наибольшее значение функции

Так как синус является периодической функцией с периодом $2\pi$, на интервале $\left( -\frac{3\pi}{2}; \frac{3\pi}{4} \right)$ минимальное значение функции будет равно $-1$, а максимальное — $1$.

Ответ для (в):

• Наименьшее значение: $y_{\text{наим}} = -1$
• Наибольшее значение: $y_{\text{наиб}} = 1$

г) На полуинтервале $\left( -\pi; \frac{\pi}{3} \right]$

Шаг 1: Проанализируем поведение функции на полуинтервале

Функция $y = \sin x$ возрастает на интервале $\left[ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{3} \right]$ и убывает на интервале $\left( -\pi; -\frac{\pi}{2} \right]$. Мы видим, что на полуинтервале $\left( -\pi; \frac{\pi}{3} \right]$ функция сначала убывает, а затем возрастает.

Шаг 2: Найдем значения функции в ключевых точках

• Для $x = -\pi$:

$$y(-\pi) = \sin(-\pi) = -\sin(\pi) = 0.$$

• Для $x = -\frac{\pi}{2}$:

$$y\left( -\frac{\pi}{2} \right) = \sin\left( -\frac{\pi}{2} \right) = -\sin\frac{\pi}{2} = -1.$$

• Для $x = \frac{\pi}{3}$:

$$y\left( \frac{\pi}{3} \right) = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Шаг 3: Определим наименьшее и наибольшее значение функции

• На интервале $\left( -\pi; -\frac{\pi}{2} \right]$ функция убывает, и её наименьшее значение достигается в точке $-\frac{\pi}{2}$, где $y = -1$.
• На интервале $\left[ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{3} \right]$ функция возрастает, и её наибольшее значение достигается в точке $\frac{\pi}{3}$, где $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ для (г):

• Наименьшее значение: $y_{\text{наим}} = -1$
• Наибольшее значение: $y_{\text{наиб}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Итоговые ответы:

а) Наименьшее значение: $y_{\text{наим}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, наибольшее значение: $y_{\text{наиб}} = 1$.

б) Наименьшее значение: $y_{\text{наим}} = -1$, наибольшее значение: $y_{\text{наиб}} = 1$.

в) Наименьшее значение: $y_{\text{наим}} = -1$, наибольшее значение: $y_{\text{наиб}} = 1$.

г) Наименьшее значение: $y_{\text{наим}} = -1$, наибольшее значение: $y_{\text{наиб}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.