ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 16.41 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y=-\cos (x+\frac{\pi }{3})+1,5$$\mathrm{}$$на\; промежутке:$

$$а) $\left[ \frac{\pi}{6}; \pi \right]$;

б) $(1; 9)$;

в) $[231; 238]$;

г) $\left[ 0; \frac{\pi}{2} \right]$

Найти наименьшее и наибольшее значения функции:
$y = -\cos \left( x + \frac{\pi}{3} \right) + 1,5;$

График данной функции является графиком функции $y = \cos x$, смещенным на $\frac{\pi}{3}$ единицы влево, отраженным относительно оси абсцисс, а затем смещенным на 1,5 единицы вверх;

а) На промежутке $\left[ \frac{\pi}{6}; \pi \right]$;

Рассмотрим функцию $y = \cos x$:

• Возрастает на $\left[ \pi; \frac{4\pi}{3} \right]$ и убывает на $\left[ \frac{\pi}{2}; \pi \right]$;

Значит функция $y = -\cos x$:

• Возрастает на $\left[ \frac{\pi}{2}; \pi \right]$ и убывает на $\left[ \pi; \frac{4\pi}{3} \right]$;

Тогда данная функция:

• Возрастает на $\left[ \frac{\pi}{6}; \frac{2\pi}{3} \right]$ и убывает на $\left[ \frac{2\pi}{3}; \pi \right]$;

Значения функции:

$$y\left( \frac{\pi}{6} \right) = -\cos \left( \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} \right) + 1,5 = -\cos \frac{\pi}{2} + 1,5 = -0 + 1,5 = 1,5;$$ $$y\left( \frac{2\pi}{3} \right) = -\cos \left( \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3} \right) + 1,5 = -\cos \pi + 1,5 = 1 + 1,5 = 2,5;$$ $$y(\pi) = -\cos \left( \pi + \frac{\pi}{3} \right) + 1,5 = -\cos \frac{4\pi}{3} + 1,5 = 0,5 + 1,5 = 2;$$

Ответ: $y_{\text{наим}} = 1,5$; $y_{\text{наиб}} = 2,5$.

б) На промежутке $(1; 9)$;

В промежуток входит полный период $T = 2\pi$ функции:

$$l = 9 — 1 = 8 \geq 2\pi;$$ $$-1 \leq \cos \left( x + \frac{\pi}{3} \right) \leq 1;$$ $$0,5 \leq -\cos \left( x + \frac{\pi}{3} \right) + 1,5 \leq 2,5;$$

Ответ: $y_{\text{наим}} = 0,5$; $y_{\text{наиб}} = 2,5$.

в) На промежутке $[231; 238]$;

В промежуток входит полный период $T = 2\pi$ функции:

$$l = 238 — 231 = 7 > 2\pi;$$ $$-1 \leq \cos \left( x + \frac{\pi}{3} \right) \leq 1;$$ $$-1 \leq -\cos \left( x + \frac{\pi}{3} \right) \leq 1;$$ $$0,5 \leq -\cos \left( x + \frac{\pi}{3} \right) + 1,5 \leq 2,5;$$

Ответ: $y_{\text{наим}} = 0,5$; $y_{\text{наиб}} = 2,5$.

г) На промежутке $\left[ 0; \frac{\pi}{2} \right]$;

Рассмотрим функцию $y = \cos x$:

• Убывает на $\left[ \frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{6} \right)$;

Значит функция $y = -\cos x$:

• Возрастает на $\left[ \frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{6} \right)$;

Тогда данная функция:

• Возрастает на $\left[ 0; \frac{\pi}{2} \right)$;

Значения функции:

$$y(0) = -\cos \left( 0 + \frac{\pi}{3} \right) + 1,5 = -\cos \frac{\pi}{3} + 1,5 = -0,5 + 1,5 = 1;$$ $$y\left( \frac{\pi}{2} \right) = -\cos \left( \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} \right) + 1,5 = -\cos \frac{5\pi}{6} + 1,5 = \frac{\sqrt{3}}{2} + 1,5 = \frac{\sqrt{3} + 3}{2};$$

Ответ: $y_{\text{наим}} = 1$; $y_{\text{наиб}}$ нет.

Функция:

$$y = -\cos \left( x + \frac{\pi}{3} \right) + 1,5$$

График функции $y = \cos x$ сдвинут на $\frac{\pi}{3}$ единицы влево, затем отражен относительно оси абсцисс и сдвинут на 1,5 единицы вверх. Мы должны найти наименьшие и наибольшие значения этой функции на различных промежутках.

Функция имеет вид:

$$y = -\cos \left( x + \frac{\pi}{3} \right) + 1,5$$

Сдвиг на $\frac{\pi}{3}$ влево:

• Мы заменяем $x$ на $x + \frac{\pi}{3}$, что смещает график функции $y = \cos x$ влево на $\frac{\pi}{3}$.

Отражение относительно оси абсцисс:

• Оператор минус перед косинусом ($-\cos$) приводит к отражению графика относительно оси $x$.

Сдвиг на 1,5 единицы вверх:

• После отражения весь график сдвигается на 1,5 единицы вверх, что означает, что значения функции увеличиваются на 1,5.

Таким образом, функция $y = -\cos(x + \frac{\pi}{3}) + 1,5$ сохраняет все характеристики функции $\cos x$ (период, амплитуду), но сдвигает и отражает ее.

Теперь рассмотрим минимальные и максимальные значения функции на разных промежутках.

а) На промежутке $\left[ \frac{\pi}{6}; \pi \right]$

1. Рассмотрим график функции $y = \cos x$

График функции $y = \cos x$ колеблется между -1 и 1 с периодом $2\pi$:

• Максимум: $y = 1$
• Минимум: $y = -1$

Функция $y = \cos x$ возрастает на интервале $[0, \pi]$ и убывает на интервале $[\pi, 2\pi]$.

2. Рассмотрим функцию $y = -\cos x$

Отражение графика функции $y = \cos x$ относительно оси абсцисс приведет к следующему:

• Максимум функции $y = -\cos x$ будет на $y = -(-1) = 1$, а минимум на $y = -1$.

Кроме того:

• Функция $y = -\cos x$ возрастает на интервале $\left[ \frac{\pi}{2}, \pi \right]$ и убывает на $\left[ \pi, \frac{3\pi}{2} \right]$.

3. Рассмотрим функцию $y = -\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$

При сдвиге функции на $\frac{\pi}{3}$ влево, ее поведение будет аналогично:

• Функция возрастает на интервале $\left[ \frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3} \right]$ и убывает на $\left[ \frac{2\pi}{3}, \pi \right]$.

4. Рассмотрим функцию $y = -\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) + 1,5$

Сдвиг на 1,5 единицы вверх сдвигает весь график функции:

• Минимум функции будет на $1,5 — 1 = 0,5$ (это значение минимального значения функции $-\cos$).
• Максимум функции будет на $1,5 + 1 = 2,5$ (это значение максимального значения функции $-\cos$).

5. Значения функции на интервале $\left[ \frac{\pi}{6}, \pi \right]$

Рассчитаем значения функции на концах интервала:

• $y\left( \frac{\pi}{6} \right) = -\cos \left( \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} \right) + 1,5 = -\cos \frac{\pi}{2} + 1,5 = 1,5$
• $y\left( \frac{2\pi}{3} \right) = -\cos \left( \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3} \right) + 1,5 = -\cos \pi + 1,5 = 2,5$
• $y(\pi) = -\cos \left( \pi + \frac{\pi}{3} \right) + 1,5 = -\cos \frac{4\pi}{3} + 1,5 = 2$

Ответ для пункта а):

$$y_{\text{наим}} = 1,5, \quad y_{\text{наиб}} = 2,5$$

б) На промежутке $(1; 9)$

Этот промежуток охватывает полный период функции, так как $2\pi \approx 6,28$, а длина интервала $9 — 1 = 8$, что больше чем $2\pi$. Следовательно, функция пройдет полный период.

Значения функции $y = \cos\left( x + \frac{\pi}{3} \right)$ будут в интервале от -1 до 1.

После отражения и сдвига:

$$0,5 \leq -\cos \left( x + \frac{\pi}{3} \right) + 1,5 \leq 2,5$$

Ответ для пункта б):

$$y_{\text{наим}} = 0,5, \quad y_{\text{наиб}} = 2,5$$

в) На промежутке $[231; 238]$

Этот промежуток также охватывает полный период функции, так как разница $238 — 231 = 7$ больше чем $2\pi$.

Значения функции $y = \cos\left( x + \frac{\pi}{3} \right)$ будут в интервале от -1 до 1.

После отражения и сдвига:

$$0,5 \leq -\cos \left( x + \frac{\pi}{3} \right) + 1,5 \leq 2,5$$

Ответ для пункта в):

$$y_{\text{наим}} = 0,5, \quad y_{\text{наиб}} = 2,5$$

г) На промежутке $\left[ 0; \frac{\pi}{2} \right]$

1. Рассмотрим функцию $y = \cos x$

• Функция убывает на интервале $\left[ \frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{6} \right)$.

2. Рассмотрим функцию $y = -\cos x$

• Эта функция возрастает на $\left[ \frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{6} \right)$.

3. Рассмотрим функцию $y = -\cos\left( x + \frac{\pi}{3} \right)$

• Функция возрастает на интервале $\left[ 0; \frac{\pi}{2} \right)$.

4. Рассчитаем значения функции на концах интервала:

• $y(0) = -\cos \left( 0 + \frac{\pi}{3} \right) + 1,5 = -\cos \frac{\pi}{3} + 1,5 = -0,5 + 1,5 = 1$
• $y\left( \frac{\pi}{2} \right) = -\cos \left( \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} \right) + 1,5 = -\cos \frac{5\pi}{6} + 1,5 = \frac{\sqrt{3}}{2} + 1,5 = \frac{\sqrt{3} + 3}{2} \approx 1.866$

Ответ для пункта г):

$$y_{\text{наим}} = 1, \quad y_{\text{наиб}} \text{ нет, так как функция возрастает на данном интервале}.$$

Итоговые ответы:

• а) $y_{\text{наим}} = 1,5, \quad y_{\text{наиб}} = 2,5$
• б) $y_{\text{наим}} = 0,5, \quad y_{\text{наиб}} = 2,5$
• в) $y_{\text{наим}} = 0,5, \quad y_{\text{наиб}} = 2,5$
• г) $y_{\text{наим}} = 1, \quad y_{\text{наиб}}$ нет