ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 16.44 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Исследуйте функцию $y = \cos x$ на монотонность на заданном промежутке:

а) $[3\pi ;4\pi ]$

б) $\left[-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3}\right]$

в) $(\frac{7\pi }{3};\frac{17\pi }{6})$

г) $\left(\frac{\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}\right)$

Исследовать функцию $y = \cos x$ на монотонность на заданном промежутке:

а) $[3\pi; 4\pi] = [3\pi — 2\pi; 4\pi — 2\pi] = [\pi; 2\pi]$;
Ответ: возрастает на $[3\pi; 4\pi]$.

б) $\left[-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3}\right]$;
Ответ: возрастает на $\left[-\frac{\pi}{3}; 0\right]$ и убывает на $\left[0; \frac{\pi}{3}\right]$.

в) $\left(\frac{7\pi}{3}; \frac{17\pi}{6}\right) = \left(\frac{7\pi}{3} — 2\pi; \frac{17\pi}{6} — 2\pi\right) = \left(\frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{6}\right)$;
Ответ: убывает на $\left(\frac{7\pi}{3}; \frac{17\pi}{6}\right)$.

г) $\left(\frac{\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}\right)$;
Ответ: возрастает на $\left[\pi; \frac{11\pi}{6}\right)$ и убывает на $\left(\frac{\pi}{6}; \pi\right]$.

Функция $y = \cos x$ является периодической с периодом $2\pi$, а также непрерывной и дифференцируемой на всей области определения. Исследование монотонности функции сводится к анализу знаков производной $y’ = -\sin x$.

Функция $\cos x$ возрастает на тех промежутках, где производная $y’ = -\sin x$ положительна, и убывает там, где производная отрицательна. Для этого мы анализируем, когда $\sin x$ меняет знак.

Преобразование производной:

$y’ = -\sin x$

Если $\sin x > 0$, то $y’ < 0$ (функция убывает).

Если $\sin x < 0$, то $y’ > 0$ (функция возрастает).

Нам нужно определить, на каких промежутках $\sin x$ положительно, а на каких отрицательно.

Часть а) $[3\pi; 4\pi]$

Мы начинаем с того, что преобразуем промежуток $[3\pi; 4\pi]$ в более удобный вид для анализа. Используем периодичность функции $\cos x$, и сдвигаем промежуток на $2\pi$:

$$[3\pi; 4\pi] = [3\pi — 2\pi; 4\pi — 2\pi] = [\pi; 2\pi]$$

Таким образом, рассматриваем промежуток $[ \pi; 2\pi ]$.

Функция $\cos x$ на отрезке $[\pi; 2\pi]$ имеет следующий график:

• В точке $x = \pi$ $\cos x = -1$.
• В точке $x = 2\pi$ $\cos x = 1$.

Функция $\cos x$ на этом отрезке возрастает. Это видно по тому, что на промежутке $[\pi; 2\pi]$ функция идет от минимального значения $-1$ до максимального значения $1$, что характерно для возрастания функции.

Ответ: на промежутке $[3\pi; 4\pi]$ функция $\cos x$ возрастает.

Часть б) $\left[-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3}\right]$

Преобразуем промежуток $\left[-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3}\right]$ для удобства в анализе:

$$\sin x = 0 \text{ при } x = 0.$$

Следовательно, на промежутке $\left[-\frac{\pi}{3}; 0\right]$, $\sin x$ положительно, а на промежутке $\left[0; \frac{\pi}{3}\right]$, $\sin x$ отрицательно.

Для функции $y = \cos x$, мы знаем, что:

• На промежутке $\left[-\frac{\pi}{3}; 0\right]$, $\cos x$ возрастает, так как производная $y’ = -\sin x$ положительна.
• На промежутке $\left[0; \frac{\pi}{3}\right]$, $\cos x$ убывает, так как производная $y’ = -\sin x$ отрицательна.

Ответ: на промежутке $\left[-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3}\right]$ функция $\cos x$ возрастает на $\left[-\frac{\pi}{3}; 0\right]$ и убывает на $\left[0; \frac{\pi}{3}\right]$.

Часть в) $\left(\frac{7\pi}{3}; \frac{17\pi}{6}\right)$

Преобразуем промежуток $\left(\frac{7\pi}{3}; \frac{17\pi}{6}\right)$ на эквивалентный промежуток:

$$\frac{7\pi}{3} — 2\pi = \frac{\pi}{3}, \quad \frac{17\pi}{6} — 2\pi = \frac{5\pi}{6}.$$

Таким образом, рассматриваем промежуток $\left(\frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{6}\right)$.

На отрезке $\left(\frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{6}\right)$ функция $\cos x$ убывает:

• В точке $x = \frac{\pi}{3}$, $\cos x = \frac{1}{2}$.
• В точке $x = \frac{5\pi}{6}$, $\cos x = -\frac{1}{2}$.

Функция $\cos x$ убывает, так как на промежутке $\left(\frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{6}\right)$ производная $y’ = -\sin x$ отрицательна.

Ответ: на промежутке $\left(\frac{7\pi}{3}; \frac{17\pi}{6}\right)$ функция $\cos x$ убывает.

Часть г) $\left(\frac{\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}\right)$

Преобразуем промежуток $\left(\frac{\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}\right)$:

$$\sin x = 0 \text{ при } x = \pi, \quad \sin x = 0 \text{ при } x = 2\pi.$$

Таким образом, промежуток $\left(\frac{\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}\right)$ делится на два части:

• $\left(\frac{\pi}{6}; \pi\right)$, где $\cos x$ убывает.
• $\left[\pi; \frac{11\pi}{6}\right)$, где $\cos x$ возрастает.

Ответ: на промежутке $\left(\frac{\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}\right)$ функция $\cos x$ возрастает на $\left[\pi; \frac{11\pi}{6}\right)$ и убывает на $\left(\frac{\pi}{6}; \pi\right]$.

Итоговые ответы:

а) возрастает на $[3\pi; 4\pi]$.

б) возрастает на $\left[-\frac{\pi}{3}; 0\right]$ и убывает на $\left[0; \frac{\pi}{3}\right]$.

в) убывает на $\left(\frac{7\pi}{3}; \frac{17\pi}{6}\right)$.

г) возрастает на $\left[\pi; \frac{11\pi}{6}\right)$ и убывает на $\left(\frac{\pi}{6}; \pi\right]$.