ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 16.46 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что функция у = cosx:

а) возрастает на отрезке [-3; -0,5];

б) убывает на интервале (7; 9);

в) достигает на интервале (3; 7) наименьшего и наибольшего значений;

г) не достигает на интервале (-3; -0,5) ни наименьшего, ни наибольшего значений.

Доказать, что функция $y = \cos x$:

а) Возрастает на отрезке $[-3; -0,5]$;

$$-\pi < -3 < -0,5 < 0;$$ $$[-3; -0,5] \in [-\pi; 0] = [-\pi + 2\pi; 0 + 2\pi] = [\pi; 2\pi];$$

Что и требовалось доказать.

б) Убывает на интервале $(7; 9)$;

$$2\pi < 7 < 9 < 3\pi;$$ $$(7; 9) \in [2\pi; 3\pi] = [2\pi — 2\pi; 3\pi — 2\pi] = [0; \pi];$$

Что и требовалось доказать.

в) Достигает на интервале $(3; 7)$ граничных значений:

$$3 < \pi < 2\pi < 7;$$ $$y(\pi) = \cos \pi = -1;$$ $$y(2\pi) = \cos 2\pi = 1;$$ $$\pi, 2\pi \in (3; 7);$$

Что и требовалось доказать.

г) Не достигает на интервале $(-3; -0,5)$ граничных значений:

$$-\pi < -3 < -0,5 < 0;$$ $$(-3; -0,5) \in (-\pi; 0) = (-\pi + 2\pi; 0 + 2\pi) = (\pi; 2\pi);$$

Что и требовалось доказать.

Утверждение а) Функция $y = \cos x$ возрастает на отрезке $[-3; -0,5]$

Для начала важно понять, как функция $y = \cos x$ ведет себя на различных интервалах.

Шаг 1: Исследуем поведение функции $y = \cos x$ на отрезке $[-3; -0,5]$.

Функция $y = \cos x$ является периодической с периодом $2\pi$. Это означает, что каждый отрезок длиной $2\pi$ будет повторяться аналогично, и для изучения функции на любом отрезке достаточно исследовать ее поведение на одном из таких интервалов.

Шаг 2: Приводим интервал $[-3; -0,5]$ к интервалу, на котором известно поведение функции. Для этого нам нужно выразить отрезок $[-3; -0,5]$ через стандартный интервал $[\pi; 2\pi]$.

• Заменим $-3$ и $-0,5$ через прибавление $2\pi$, так как период функции равен $2\pi$:

$$-3 + 2\pi = \pi, \quad -0,5 + 2\pi = 2\pi.$$

Таким образом, отрезок $[-3; -0,5]$ совпадает с отрезком $[ \pi; 2\pi ]$.

Шаг 3: Функция $y = \cos x$ возрастает на интервале $[\pi; 2\pi]$, так как её производная $y’ = -\sin x$ на этом интервале отрицательна, что означает, что функция уменьшается. Однако для проверки возрастности обратим внимание, что $-\pi < -3 < -0,5 < 0$ входит в этот отрезок.

Шаг 4: Мы доказали, что:

$$[-3; -0,5] \in [\pi; 2\pi].$$

Что и требовалось доказать.

Утверждение б) Функция $y = \cos x$ убывает на интервале $(7; 9)$

Шаг 1: Рассмотрим интервал $(7; 9)$ на оси $x$. Мы видим, что $7$ и $9$ лежат в промежутке между $2\pi$ и $3\pi$. Точно так же, как и в предыдущем случае, определим, на каком интервале функции убывает.

Шаг 2: Приведем интервал $(7; 9)$ к стандартному интервалу функции $y = \cos x$.

• $7$ и $9$ лежат в интервале $[2\pi; 3\pi]$. Мы можем сдвигать точки, чтобы привести их в стандартный вид:

$$7 — 2\pi = 0, \quad 9 — 2\pi = \pi.$$

Таким образом, интервал $(7; 9)$ можно записать как:

$$(7; 9) \in [0; \pi].$$

Шаг 3: На интервале $[0; \pi]$ функция $y = \cos x$ убывает, поскольку её производная $y’ = -\sin x$ на этом интервале положительна, что означает убывание функции.

Шаг 4: Мы доказали, что:

$$(7; 9) \in [0; \pi].$$

Что и требовалось доказать.

Утверждение в) Функция $y = \cos x$ достигает на интервале $(3; 7)$ граничных значений

Шаг 1: Рассмотрим интервал $(3; 7)$ и выясним, достигает ли функция $y = \cos x$ граничных значений на этом интервале.

Шаг 2: Выясним, какие граничные значения принимает функция на этом интервале.

• $3$ и $7$ лежат между $\pi$ и $2\pi$. Для этого представим их на оси:

$$3 < \pi < 2\pi < 7.$$

Это означает, что на интервале $(3; 7)$ функция $y = \cos x$ достигает минимального значения $y(\pi) = \cos \pi = -1$ и максимального значения $y(2\pi) = \cos 2\pi = 1$.

Шаг 3: Мы доказали, что функция $y = \cos x$ на интервале $(3; 7)$ достигает граничных значений:

$$y(\pi) = -1, \quad y(2\pi) = 1.$$

Что и требовалось доказать.

Утверждение г) Функция $y = \cos x$ не достигает на интервале $(-3; -0,5)$ граничных значений

Шаг 1: Рассмотрим интервал $(-3; -0,5)$ и посмотрим, достигает ли функция $y = \cos x$ граничных значений на этом интервале.

Шаг 2: Приводим интервал $(-3; -0,5)$ к стандартному интервалу, используя $2\pi$:

$$-3 + 2\pi = \pi, \quad -0,5 + 2\pi = 2\pi.$$

Таким образом, интервал $(-3; -0,5)$ совпадает с интервалом $[ \pi; 2\pi ]$, на котором функция $y = \cos x$ не достигает граничных значений, так как она возрастает.

Шаг 3: Функция $y = \cos x$ на интервале $[ \pi; 2\pi ]$ не достигает граничных значений, так как она просто возрастает от $\cos \pi = -1$ до $\cos 2\pi = 1$, не достигая этих значений на данном интервале.

Шаг 4: Мы доказали, что на интервале $(-3; -0,5)$ функция не достигает граничных значений.

Что и требовалось доказать.