ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 16.48 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $\cos x = \sqrt{x} + 1$;

б) $\cos x = \sqrt{x — \frac{\pi}{2}}$;

в) $\cos x = -(x — \pi)^2 — 1$;

г) $\cos x=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+1$

а) $\cos x = \sqrt{x} + 1$;

$y = \cos x$ — уравнение синусоиды;

$y = \sqrt{x} + 1$ — уравнение ветви параболы:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 \\ \hline y & 1 & 2 \\ \hline \end{array}$$

Графики функций:

Ответ: $x = 0$.

б) $\cos x = \sqrt{x — \frac{\pi}{2}}$;

$y = \cos x$ — уравнение синусоиды;

$y = \sqrt{x — \frac{\pi}{2}}$ — уравнение ветви параболы:

$$x_0 = \frac{\pi}{2}, \quad y_0 = 0;$$ $$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & \frac{\pi}{2} & \frac{5\pi}{6} \\ \hline y & 0 & \approx 1 \\ \hline \end{array}$$

Графики функций:

Ответ: $x = \frac{\pi}{2}$.

в) $\cos x = -(x — \pi)^2 — 1$;

$y = \cos x$ — уравнение синусоиды;

$y = -(x — \pi)^2 — 1$ — уравнение параболы:

$$x_0 = \pi, \quad y_0 = -1;$$ $$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & \frac{2\pi}{3} & \frac{4\pi}{3} \\ \hline y & \approx -2 & \approx -2 \\ \hline \end{array}$$

Графики функций:

Ответ: $x = \pi$.

г) $\cos x = |x| + 1$;

$y = \cos x$ — уравнение синусоиды;

$y = |x| + 1$ — уравнение модуля:

$$x_0 = 0, \quad y_0 = 1;$$ $$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & -1 & 1 \\ \hline y & 2 & 2 \\ \hline \end{array}$$

Графики функций:

Ответ: $x = 0$.

а) Уравнение: $\cos x = \sqrt{x} + 1$

Шаг 1: Исследование функций

Функция $y = \cos x$:

• Это стандартное уравнение синусоиды, которая колеблется между значениями -1 и 1 с периодом $2\pi$. То есть, она будет повторяться каждые $2\pi$ единиц.
• График функции $y = \cos x$ будет выглядеть как волна, которая достигает максимума в точке $x = 0$, затем спускается до -1, а затем снова возвращается к 1.

Функция $y = \sqrt{x} + 1$:

• Это уравнение ветви параболы. Парабола начинает своё движение от $x = 0$ и идёт вправо, поскольку $\sqrt{x}$ определено только для $x \geq 0$. В точке $x = 0$ значение функции будет равно 1. Как только $x$ увеличивается, значение функции $y$ будет расти, но всегда оставаться больше или равно 1.

Шаг 2: Таблица значений

Для того чтобы найти точку пересечения, нужно рассчитать значения функций в нескольких точках:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 \\ \hline y = \cos x & 1 & 0.5403 \\ \hline y = \sqrt{x} + 1 & 1 & 2 \\ \hline \end{array}$$

При $x = 0$ обе функции принимают значение 1, то есть это точка пересечения.

При $x = 1$, $y = \cos x \approx 0.5403$ и $y = \sqrt{1} + 1 = 2$, значения функции $\cos x$ и $\sqrt{x} + 1$ уже не совпадают.

Шаг 3: Графики функций

Ответ:

Пересечение происходит при $x = 0$.

б) Уравнение: $\cos x = \sqrt{x — \frac{\pi}{2}}$

Шаг 1: Исследование функций

Функция $y = \cos x$:

• Это стандартная синусоида, которая колеблется между -1 и 1 с периодом $2\pi$.

Функция $y = \sqrt{x — \frac{\pi}{2}}$:

• Это уравнение ветви параболы, но сдвиг по оси $x$ на $\frac{\pi}{2}$. Эта функция определена для $x \geq \frac{\pi}{2}$, так как значение под корнем должно быть неотрицательным.
• При $x = \frac{\pi}{2}$, функция $y = \sqrt{x — \frac{\pi}{2}}$ принимает значение 0, и с увеличением $x$, значение функции будет возрастать.

Шаг 2: Таблица значений

Рассчитаем значения функций при $x = \frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{5\pi}{6}$:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & \frac{\pi}{2} & \frac{5\pi}{6} \\ \hline y = \cos x & 0 & 0.866 \\ \hline y = \sqrt{x — \frac{\pi}{2}} & 0 & 1 \\ \hline \end{array}$$

При $x = \frac{\pi}{2}$, обе функции равны 0, что означает, что это точка пересечения.

Шаг 3: Графики функций

Ответ:

Пересечение происходит при $x = \frac{\pi}{2}$.

в) Уравнение: $\cos x = -(x — \pi)^2 — 1$

Шаг 1: Исследование функций

Функция $y = \cos x$:

• Это стандартная синусоида, которая колеблется между -1 и 1 с периодом $2\pi$.

Функция $y = -(x — \pi)^2 — 1$:

• Это уравнение параболы, открывающейся вниз, с вершиной в точке $x = \pi$, $y = -1$. Парабола будет уменьшаться на обеих сторонах от вершины.

Шаг 2: Таблица значений

Рассчитаем значения функций при $x = \frac{2\pi}{3}$ и $x = \frac{4\pi}{3}$:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & \frac{2\pi}{3} & \frac{4\pi}{3} \\ \hline y = \cos x & -0.5 & -0.5 \\ \hline y = -(x — \pi)^2 — 1 & -2 & -2 \\ \hline \end{array}$$

При $x = \pi$, обе функции равны -1, что означает, что это точка пересечения.

Шаг 3: Графики функций

Ответ:

Пересечение происходит при $x = \pi$.

г) Уравнение: $\cos x = |x| + 1$

Шаг 1: Исследование функций

Функция $y = \cos x$:

• Это стандартная синусоида, которая колеблется между -1 и 1 с периодом $2\pi$.

Функция $y = |x| + 1$:

• Это уравнение модуля, которое представляет собой «V»-образную фигуру, где на $x = 0$ значение равно 1, а с увеличением $|x|$ значение функции растёт.

Шаг 2: Таблица значений

Рассчитаем значения функций при $x = -1$ и $x = 1$:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & -1 & 1 \\ \hline y = \cos x & 0.5403 & 0.5403 \\ \hline y = |x| + 1 & 2 & 2 \\ \hline \end{array}$$

При $x = 0$, обе функции равны 1, что означает, что это точка пересечения.

Шаг 3: Графики функций

Ответ:

Пересечение происходит при $x = 0$.

Итоговые ответы:

• Пересечение при $x = 0$ для $\cos x = \sqrt{x} + 1$.
• Пересечение при $x = \frac{\pi}{2}$ для $\cos x = \sqrt{x — \frac{\pi}{2}}$.
• Пересечение при $x = \pi$ для $\cos x = -(x — \pi)^2 — 1$.
• Пересечение при $x = 0$ для $\cos x = |x| + 1$.