ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 16.49 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Сколько решений имеет система уравнений:

а)

$$\begin{cases} y = \sin x \\ y = x^2 + 4x — 1 \end{cases}$$

б)

$$\begin{cases} y = \sin x \\ y = \frac{1}{x} \end{cases}$$

в)

$$\begin{cases} y = \sin x \\ y = -3x^2 — 2 \end{cases}$$

г)

$$\begin{cases} |x| — y = 0 \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} y = \sin x \\ y = |x| \end{cases} \end{cases}$$

а)

$$\begin{cases} y = \sin x \\ y = x^2 + 4x — 1 \end{cases}$$

$y = \sin x$ — уравнение синусоиды;

$y = x^2 + 4x — 1$ — уравнение параболы:

$$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2;$$

Графики функций:

Ответ: 2 решения.

б)

$$\begin{cases} y = \sin x \\ y = \frac{1}{x} \end{cases}$$

$y = \sin x$ — уравнение синусоиды;

$y = \frac{1}{x}$ — уравнение гиперболы:

$$x_0 = 0, \quad y_0 \not= 0;$$

Графики функций:

Ответ: бесконечно много решений.

в)

$$\begin{cases} y = \sin x \\ y = -3x^2 — 2 \end{cases}$$

$y = \sin x$ — уравнение синусоиды;

$y = -3x^2 — 2$ — уравнение параболы:

$$x_0 = 0, \quad y_0 = -2;$$

Графики функций:

Ответ: 0 решений.

г)

$$\begin{cases} |x| — y = 0 \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} y = \sin x \\ y = |x| \end{cases} \end{cases}$$

$y = \sin x$ — уравнение синусоиды;

$y = |x|$ — уравнение параболы:

$$x_0 = 0, \quad y_0 = 0;$$

Графики функций:

Ответ: 1 решение.

а) Уравнение:

$$\begin{cases} y = \sin x \\ y = x^2 + 4x — 1 \end{cases}$$

Шаг 1: Исследуем каждую из функций.

Функция $y = \sin x$:

• Это стандартное уравнение синусоиды, которая колеблется между -1 и 1. Период функции равен $2\pi$, а амплитуда равна 1.
• График этой функции будет волнообразным, начинаясь с $y = 0$ в $x = 0$, затем увеличиваясь до 1 в $x = \frac{\pi}{2}$, и снова опускаясь до -1 в $x = \pi$. Он продолжает этот цикл через каждое $2\pi$.

Функция $y = x^2 + 4x — 1$:

• Это уравнение параболы с открытым вверх направлением, так как коэффициент при $x^2$ положительный.
• Мы можем найти вершину параболы, используя формулу для абсциссы вершины $x_0 = -\frac{b}{2a}$, где $a = 1$ и $b = 4$:

  $$x_0 = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2.$$

• Подставляем $x_0 = -2$ в уравнение параболы для нахождения значения $y_0$:

  $$y_0 = (-2)^2 + 4(-2) — 1 = 4 — 8 — 1 = -5.$$

• Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-2, -5)$, и сама парабола открывается вверх.

Шаг 2: Таблица значений для обоих графиков.

Для анализа пересечений, посчитаем значения обеих функций в нескольких точках:

Шаг 3: Пересечения графиков.

Теперь нужно выяснить, на каких значениях $x$ графики этих функций пересекаются.

Обе функции равны при $x = -4$, так как для $x = -4$ $y = -1$ для обеих функций.

Поскольку парабола $y = x^2 + 4x — 1$ открывается вверх, а синусоида $y = \sin x$ колеблется, очевидно, что эти графики пересекаются в двух точках, так как парабола находится выше синусоиды в промежутке между этими точками.

Ответ: 2 решения.

б) Уравнение:

$$\begin{cases} y = \sin x \\ y = \frac{1}{x} \end{cases}$$

Шаг 1: Исследуем функции.

Функция $y = \sin x$:

• Как и раньше, это стандартная синусоида, которая колеблется между -1 и 1 с периодом $2\pi$.

Функция $y = \frac{1}{x}$:

• Это уравнение гиперболы, которая имеет асимптоты $x = 0$ и $y = 0$.
• При $x = 0$ функция не определена, а для $x \to \infty$ или $x \to -\infty$, функция стремится к 0. График гиперболы симметричен относительно оси $y$.

Шаг 2: Таблица значений для обоих графиков.

Посчитаем значения для функции $y = \frac{1}{x}$ в некоторых точках:

Шаг 3: Пересечения графиков.

Здесь важно заметить, что гипербола $y = \frac{1}{x}$ и синусоида $y = \sin x$ будут пересекаться бесконечно много раз. Синусоида проходит через ось $y$ много раз, и в этих точках функция $\frac{1}{x}$ также будет пересекать график синусоиды на разных значениях $x$. С учетом бесконечного числа колебаний синусоиды, количество решений будет бесконечным.

Ответ: бесконечно много решений.

в) Уравнение:

$$\begin{cases} y = \sin x \\ y = -3x^2 — 2 \end{cases}$$

Шаг 1: Исследуем функции.

Функция $y = \sin x$:

• Стандартная синусоида с периодом $2\pi$ и амплитудой 1.

Функция $y = -3x^2 — 2$:

• Это парабола с открытием вниз, вершина которой находится в точке $(0, -2)$, поскольку $x_0 = 0$, и $y_0 = -2$. Парабола убывает с обеих сторон от вершины.

Шаг 2: Таблица значений для обоих графиков.

Посчитаем значения функций:

Шаг 3: Пересечения графиков.

Мы видим, что значения функции синусоиды находятся в диапазоне от -1 до 1, в то время как значения параболы $y = -3x^2 — 2$ всегда находятся ниже -2. Парабола не пересекает синусоиду, потому что её график остаётся ниже уровня синусоиды.

Ответ: 0 решений.

г) Уравнение:

$$\begin{cases} |x| — y = 0 \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} y = \sin x \\ y = |x| \end{cases} \end{cases}$$

Шаг 1: Исследуем функции.

Функция $y = \sin x$:

• Стандартная синусоида с амплитудой 1 и периодом $2\pi$.

Функция $y = |x|$:

• Это уравнение модуля, которое представляет собой V-образную кривую, которая имеет вершину в точке $x = 0$ и с каждым шагом увеличивает значение функции по мере удаления от нуля.

Шаг 2: Таблица значений для обоих графиков.

Посчитаем значения для функции $y = |x|$:

Шаг 3: Пересечения графиков.

Графики пересекаются в точке $x = 0$, так как в этой точке обе функции равны 0.

Ответ: 1 решение.

Итоговые ответы:

• 2 решения для $y = \sin x$ и $y = x^2 + 4x — 1$.
• Бесконечно много решений для $y = \sin x$ и $y = \frac{1}{x}$.
• 0 решений для $y = \sin x$ и $y = -3x^2 — 2$.
• 1 решение для $y = \sin x$ и $y = |x|$.