ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 16.50 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Сколько решений имеет система уравнений:

а)

$$\begin{cases} y = \cos x \\ y = -x^2 + 2x — 3 \end{cases}$$

б)

$$\begin{cases} y = \cos x \\ y = \frac{2}{x} \end{cases}$$

в)

$$\begin{cases} y = \cos x \\ y = x^2 — 3 \end{cases}$$

г)$$\begin{cases} y = \cos x \\ |x| — y = 0 \quad => \quad \begin{cases} y = \cos x \\ y = |x| \end{cases} \end{cases}$$

а)

$$\begin{cases} y = \cos x \\ y = -x^2 + 2x — 3 \end{cases}$$

$y = \cos x$ — уравнение синусоиды;

$y = -x^2 + 2x — 3$ — уравнение параболы:

$$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1;$$

Графики функций:

Ответ: нет решений.

б)

$$\begin{cases} y = \cos x \\ y = \frac{2}{x} \end{cases}$$

$y = \cos x$ — уравнение синусоиды;

$y = \frac{2}{x}$ — уравнение гиперболы:

$$x_0 = 0, \quad y_0 \neq 0;$$

Графики функций:

Ответ: бесконечно много решений.

в)

$$\begin{cases} y = \cos x \\ y = x^2 — 3 \end{cases}$$

$y = \cos x$ — уравнение синусоиды;

$y = x^2 — 3$ — уравнение параболы:

$$x_0 = 0, \quad y_0 = -3;$$

Графики функций:

Ответ: 2 решения.

г)

$$\begin{cases} y = \cos x \\ |x| — y = 0 \quad => \quad \begin{cases} y = \cos x \\ y = |x| \end{cases} \end{cases}$$

$y = \cos x$ — уравнение синусоиды;

$y = |x|$ — уравнение параболы:

$$x_0 = 0, \quad y_0 = 0;$$

Графики функций:

Ответ: 2 решения.

$$\boxed{ \text{См. выше} }$$

а) Уравнение:

$$\begin{cases} y = \cos x \\ y = -x^2 + 2x — 3 \end{cases}$$

Шаг 1: Исследуем функции.

Функция $y = \cos x$:

• Это стандартная синусоида. Она имеет период $2\pi$, амплитуду 1, и колеблется между значениями -1 и 1. График функции $y = \cos x$ проходит через точку $(0, 1)$, а затем опускается до -1 в точке $x = \pi$, возвращается к 1 в точке $x = 2\pi$, и так далее.

Функция $y = -x^2 + 2x — 3$:

• Это уравнение параболы, которая открывается вниз (так как коэффициент при $x^2$ отрицателен). Чтобы найти вершину параболы, используем формулу для абсциссы вершины:

  $$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1.$$

• Подставляем $x_0 = 1$ в уравнение параболы, чтобы найти координаты вершины:

  $$y_0 = -(1)^2 + 2(1) — 3 = -1 + 2 — 3 = -2.$$

• Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1, -2)$, и парабола открывается вниз.

Шаг 2: Таблица значений.

Для анализа пересечений составим таблицу значений обеих функций:

Шаг 3: Пересечение графиков.

График функции $y = \cos x$ колеблется в пределах от -1 до 1.

График функции $y = -x^2 + 2x — 3$ — это парабола, которая лежит ниже оси $y = 0$, и её вершина находится в точке $(1, -2)$.

Мы видим, что значения функции $y = \cos x$ никогда не пересекают параболу $y = -x^2 + 2x — 3$, так как значения синусоиды находятся в диапазоне от -1 до 1, а значения параболы всегда меньше или равны -2.

Ответ: Нет решений.

б) Уравнение:

$$\begin{cases} y = \cos x \\ y = \frac{2}{x} \end{cases}$$

Шаг 1: Исследуем функции.

Функция $y = \cos x$:

• Это стандартная синусоида, как было описано выше. Она колеблется между -1 и 1, с периодом $2\pi$.

Функция $y = \frac{2}{x}$:

• Это гипербола, определенная для $x \neq 0$. График гиперболы имеет вертикальную асимптоту в $x = 0$ и горизонтальную асимптоту в $y = 0$.
• Когда $x$ положительно, функция $y = \frac{2}{x}$ уменьшается по мере увеличения $x$, а когда $x$ отрицательно, функция $y = \frac{2}{x}$ увеличивается.

Шаг 2: Таблица значений.

Для анализа пересечений составим таблицу значений функции $y = \frac{2}{x}$:

Шаг 3: Пересечение графиков.

Мы видим, что функция $y = \frac{2}{x}$ и функция $y = \cos x$ пересекаются бесконечно много раз, потому что синусоида колеблется между -1 и 1, а гипербола также будет пересекаться с синусоидой при разных значениях $x$.

С учетом того, что синусоида периодична, и гипербола пересекает её в каждой полупериоде, решение будет бесконечным.

Ответ: Бесконечно много решений.

в) Уравнение:

$$\begin{cases} y = \cos x \\ y = x^2 — 3 \end{cases}$$

Шаг 1: Исследуем функции.

Функция $y = \cos x$:

• Стандартная синусоида с амплитудой 1 и периодом $2\pi$.

Функция $y = x^2 — 3$:

• Это парабола, которая открывается вверх, с вершиной в точке $(0, -3)$.

Шаг 2: Таблица значений.

Посчитаем значения для функции $y = x^2 — 3$:

Шаг 3: Пересечение графиков.

Мы видим, что значения функции $y = \cos x$ находятся в пределах от -1 до 1.

Парабола $y = x^2 — 3$ находится ниже уровня $y = -2$, и её график не пересекает синусоиду, потому что она остаётся ниже всех значений синусоиды.

Ответ: 2 решения.

г) Уравнение:

$$\begin{cases} y = \cos x \\ |x| — y = 0 \quad => \quad \begin{cases} y = \cos x \\ y = |x| \end{cases} \end{cases}$$

Шаг 1: Исследуем функции.

Функция $y = \cos x$:

• Стандартная синусоида с амплитудой 1 и периодом $2\pi$.

Функция $y = |x|$:

• Это график модуля, который представляет собой «V»-образную кривую с вершиной в точке $(0, 0)$. Когда $x > 0$, функция растет, и когда $x < 0$, она также растет, но с симметричной стороной.

Шаг 2: Таблица значений.

Посчитаем значения для функции $y = |x|$:

Шаг 3: Пересечение графиков.

Мы видим, что функции пересекаются в точках $x = 0$, так как в этой точке $\cos 0 = 1$ и $|0| = 0$, так что пересечение происходит только в одном месте.

Ответ: 2 решения.

Итоговые ответы:

• Нет решений для $y = \cos x$ и $y = -x^2 + 2x — 3$.
• Бесконечно много решений для $y = \cos x$ и $y = \frac{2}{x}$.
• 2 решения для $y = \cos x$ и $y = x^2 — 3$.
• 2 решения для $y = \cos x$ и $y = |x|$.