ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 16.53 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) $\cos x \geq 1 + |x|$;

б) $\sin x \leq -\left(x — \frac{3\pi}{2}\right)^2 — 1$

а) $\cos x \geq 1 + |x|$;

$y = \cos x$ — уравнение синусоиды;

$y = 1 + |x|$ — уравнение модуля:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -1 & 0 & 1 \\ \hline y & 2 & 1 & 2 \\ \hline \end{array}$$

Графики функций:

Ответ: $x = 0$.

б) $\sin x \leq -\left(x — \frac{3\pi}{2}\right)^2 — 1$;

$y = \sin x$ — уравнение синусоиды;

$y = -\left(x — \frac{3\pi}{2}\right)^2 — 1$ — уравнение параболы:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & \frac{7\pi}{6} & \frac{3\pi}{2} & \frac{11\pi}{6} \\ \hline y & \approx -2 & -1 & \approx -2 \\ \hline \end{array}$$

Графики функций:

Ответ: $x = \frac{3\pi}{2}$.

а) Условие: $\cos x \geq 1 + |x|$

Здесь мы будем рассматривать два уравнения:

1. $y = \cos x$ — это уравнение синусоиды.
2. $y = 1 + |x|$ — это уравнение модуля, которое представляет собой V-образную функцию.

Шаг 1: Построение графиков функций

• Функция $y = \cos x$ представляет собой стандартную косинусоиду. Ее график колеблется между значениями 1 и -1 с периодом $2\pi$.
• Функция $y = 1 + |x|$ является модификацией линейной функции с углом наклона 1 и симметрична относительно оси $y$. Она начинается с точки $(0,1)$ и растет как $y = 1 + x$ для $x \geq 0$ и $y = 1 — x$ для $x < 0$.

Теперь строим таблицу значений для обеих функций для нескольких значений $x$:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -1 & 0 & 1 \\ \hline y_{\cos x} & \cos(-1) \approx 0.5403 & \cos(0) = 1 & \cos(1) \approx 0.5403 \\ y_{1 + |x|} & 2 & 1 & 2 \\ \hline \end{array}$$

Таблица показывает значения функции $y = \cos x$ (в первом столбце) и функции $y = 1 + |x|$ (во втором столбце). Мы видим, что для $x = 0$, $\cos(0) = 1$, что совпадает с $1 + |x|$, то есть $y = 1$ для обоих выражений.

Шаг 2: Поиск решения неравенства

Теперь нам нужно решить неравенство:

$$\cos x \geq 1 + |x|$$

• Для $x = 0$ обе функции равны 1, то есть $\cos(0) = 1$ и $1 + |0| = 1$, следовательно, неравенство выполняется.
• Для других значений $x$, например $x = \pm 1$, мы видим, что $\cos(\pm 1) \approx 0.5403$, что меньше 2, а значит неравенство уже не выполняется.

Таким образом, единственное решение неравенства — это $x = 0$.

Ответ: $x = 0$.

б) Условие: $\sin x \leq -\left(x — \frac{3\pi}{2}\right)^2 — 1$

Здесь мы работаем с двумя функциями:

1. $y = \sin x$ — это уравнение синусоиды.
2. $y = -\left(x — \frac{3\pi}{2}\right)^2 — 1$ — это парабола, переведенная по оси $x$ на $\frac{3\pi}{2}$ и с отражением относительно оси $x$.

Шаг 1: Построение графиков функций

• Функция $y = \sin x$ — стандартная синусоида с периодом $2\pi$, амплитудой 1.
• Функция $y = -\left(x — \frac{3\pi}{2}\right)^2 — 1$ представляет собой параболу, которая смещена на $\frac{3\pi}{2}$ по оси $x$ и имеет вершину в точке $\left(\frac{3\pi}{2}, -1\right)$, с открывающимися вниз ветвями.

Таблица значений для нескольких $x$:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & \frac{7\pi}{6} & \frac{3\pi}{2} & \frac{11\pi}{6} \\ \hline y_{\sin x} & \sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) \approx -0.5 & \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1 & \sin\left(\frac{11\pi}{6}\right) \approx -0.5 \\ y_{-\left(x — \frac{3\pi}{2}\right)^2 — 1} & \approx -2 & -1 & \approx -2 \\ \hline \end{array}$$

Шаг 2: Поиск решения неравенства

Нам нужно решить неравенство:

$$\sin x \leq -\left(x — \frac{3\pi}{2}\right)^2 — 1$$

• Для $x = \frac{3\pi}{2}$, $\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1$, и также $-\left(\frac{3\pi}{2} — \frac{3\pi}{2}\right)^2 — 1 = -1$, то есть неравенство выполняется.
• Для других значений $x$, например $x = \frac{7\pi}{6}$ или $x = \frac{11\pi}{6}$, синусоида и парабола дают разные значения, и неравенство не выполняется.

Таким образом, единственное решение — это $x = \frac{3\pi}{2}$.

Ответ: $x = \frac{3\pi}{2}$.

Итак, после детального разбора обоих случаев, мы пришли к следующим ответам:

• Для неравенства $\cos x \geq 1 + |x|$ ответ: $x = 0$.
• Для неравенства $\sin x \leq -\left(x — \frac{3\pi}{2}\right)^2 — 1$ ответ: $x = \frac{3\pi}{2}$.