ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 16.54 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $\sin x > \frac{3x}{5\pi}$;

б) $\cos x \leq \frac{9x}{2\pi} — 1$

а) $\sin x > \frac{3x}{5\pi}$;

$y = \sin x$ — уравнение синусоиды;

$y = \frac{3x}{5\pi}$ — уравнение прямой:

Графики функций:

Ответ: $x < -\frac{5\pi}{6}; \; 0 < x < \frac{5\pi}{6}$.

б) $\cos x \leq \frac{9x}{2\pi} — 1$;

$y = \cos x$ — уравнение синусоиды;

$y = \frac{9x}{2\pi} — 1$ — уравнение прямой:

Графики функций:

Ответ: $x \geq \frac{\pi}{3}$.

а) Условие: $\sin x > \frac{3x}{5\pi}$

Нам нужно решить неравенство:

$$\sin x > \frac{3x}{5\pi}$$

Здесь мы будем рассматривать две функции:

1. $y = \sin x$ — это уравнение синусоиды.
2. $y = \frac{3x}{5\pi}$ — это уравнение прямой, проходящей через начало координат с угловым коэффициентом $\frac{3}{5\pi}$.

Шаг 1: Построение графиков функций

• Функция $y = \sin x$ представляет собой стандартную синусоиду с периодом $2\pi$ и амплитудой 1.
• Функция $y = \frac{3x}{5\pi}$ — это линейная функция с угловым коэффициентом $\frac{3}{5\pi}$. Это прямая, проходящая через начало координат, с постепенным увеличением значения $y$.

Для того чтобы понять, где происходит пересечение и выполнение неравенства, составим таблицу значений для обеих функций в нескольких точках:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & \sin x & \frac{3x}{5\pi} \\ \hline 0 & 0 & 0 \\ \frac{5\pi}{6} & \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} & \frac{3 \times \frac{5\pi}{6}}{5\pi} = 0.5 \\ \hline \end{array}$$

Шаг 2: Описание графиков

• График функции $y = \sin x$ колеблется между -1 и 1.
• График функции $y = \frac{3x}{5\pi}$ — это прямая линия с угловым коэффициентом $\frac{3}{5\pi}$, которая постепенно увеличивается.

При $x = 0$, обе функции равны нулю. Но для $x = \frac{5\pi}{6}$ мы видим, что синусоиды и прямая пересекаются, и их значения равны между собой, то есть $\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = 0.5$ и $\frac{3 \times \frac{5\pi}{6}}{5\pi} = 0.5$.

Шаг 3: Решение неравенства

Чтобы решить неравенство $\sin x > \frac{3x}{5\pi}$, нам нужно определить, в каких областях синусоида находится выше прямой.

• Для $x = 0$, значения функций равны, поэтому на $x = 0$ неравенство не выполняется.
• Для $x > 0$, синусоида $\sin x$ будет перемещаться между -1 и 1, а прямая $\frac{3x}{5\pi}$ будет расти. Сначала синусоида будет выше прямой, но через некоторое время она опустится ниже прямой. Это также происходит для $x < 0$.
• Поэтому решения неравенства будут в интервалах $x < -\frac{5\pi}{6}$ и $0 < x < \frac{5\pi}{6}$.

Ответ: $x < -\frac{5\pi}{6}; \; 0 < x < \frac{5\pi}{6}$.

б) Условие: $\cos x \leq \frac{9x}{2\pi} — 1$

Нам нужно решить неравенство:

$$\cos x \leq \frac{9x}{2\pi} — 1$$

Здесь мы будем рассматривать две функции:

1. $y = \cos x$ — это уравнение синусоиды.
2. $y = \frac{9x}{2\pi} — 1$ — это уравнение прямой.

Шаг 1: Построение графиков функций

• Функция $y = \cos x$ — это стандартная косинусоида с амплитудой 1 и периодом $2\pi$.
• Функция $y = \frac{9x}{2\pi} — 1$ — это прямая, которая начинается с точки $(-1)$ на оси $y$ и увеличивается с угловым коэффициентом $\frac{9}{2\pi}$.

Для того чтобы понять, где происходит пересечение и выполнение неравенства, составим таблицу значений для обеих функций в нескольких точках:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & \cos x & \frac{9x}{2\pi} — 1 \\ \hline 0 & 1 & -1 \\ \frac{2\pi}{3} & \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} & \frac{9 \times \frac{2\pi}{3}}{2\pi} — 1 = 2 \\ \hline \end{array}$$

Шаг 2: Описание графиков

• График функции $y = \cos x$ будет колебаться между -1 и 1.
• График функции $y = \frac{9x}{2\pi} — 1$ — это прямая линия, которая будет выше оси $x$ при больших значениях $x$.

При $x = 0$, $\cos 0 = 1$, а прямая принимает значение -1, следовательно, неравенство выполняется для $x = 0$.

Шаг 3: Решение неравенства

Чтобы решить неравенство $\cos x \leq \frac{9x}{2\pi} — 1$, необходимо понять, в каких областях график синусоиды находится ниже прямой.

• Для $x = 0$, $\cos(0) = 1$, а прямая $\frac{9x}{2\pi} — 1$ равна -1, следовательно, неравенство выполняется.
• Для $x = \frac{2\pi}{3}$, $\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$, а значение прямой равно 2, и неравенство также выполняется.
• Для более высоких значений $x$ синусоида постепенно снижается, а прямая продолжает расти. При $x \geq \frac{\pi}{3}$ прямой будет больше, чем синусоида.

Таким образом, решение неравенства начинается с $x = \frac{\pi}{3}$ и продолжается для всех более высоких значений $x$.

Ответ: $x \geq \frac{\pi}{3}$.

Итак, после детального анализа и построения графиков, мы пришли к следующим результатам:

• Для неравенства $\sin x > \frac{3x}{5\pi}$ ответ: $x < -\frac{5\pi}{6}; \; 0 < x < \frac{5\pi}{6}$.
• Для неравенства $\cos x \leq \frac{9x}{2\pi} — 1$ ответ: $x \geq \frac{\pi}{3}$.