ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 16.68 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) у = sin(sinx);

б) у = sin(cosx);

в) у = cos(cosx);

г) у = cos(sinx).

а) $y = \sin x (\sin x)$:

Функция является нечетной:

$$y(-x) = \sin(\sin(-x)) = \sin(-\sin x) = -\sin(\sin x) = -y(x);$$

Значения функции:

$$y(0) = \sin(\sin 0) = \sin 0 = 0;$$ $$y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\sin\frac{\pi}{2}\right) = \sin 1 \approx \sin\frac{\pi}{3} \approx \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,85;$$ $$y(\pi) = \sin(\sin \pi) = \sin 0 = 0;$$

График функции:

б) $y = \sin x (\cos x)$:

Функция является четной:

$$y(-x) = \sin(\cos(-x)) = \sin(\cos x) = y(x);$$

Значения функции:

$$y(0) = \sin(\cos 0) = \sin 1 \approx \sin\frac{\pi}{3} \approx \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,85;$$ $$y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\cos\frac{\pi}{2}\right) = \sin 0 = 0;$$ $$y(\pi) = \sin(\cos \pi) = \sin(-1) = -\sin 1 \approx -0,85;$$

График функции:

в) $y = \cos x (\cos x)$:

Функция является четной:

$$y(-x) = \cos(\cos(-x)) = \cos(\cos x) = y(x);$$

Значения функции:

$$y(0) = \cos(\cos 0) = \cos 1 \approx \cos\frac{\pi}{3} \approx 0,5;$$ $$y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\cos\frac{\pi}{2}\right) = \cos 0 = 1;$$ $$y(\pi) = \cos(\cos \pi) = \cos(-1) = \cos 1 \approx 0,5;$$

График функции:

г) $y = \cos x (\sin x)$:

Функция является четной:

$$y(-x) = \cos(\sin(-x)) = \cos(-\sin x) = \cos(\sin x) = y(x);$$

Значения функции:

$$y(0) = \cos(\sin 0) = \cos 0 = 1;$$ $$y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\sin\frac{\pi}{2}\right) = \cos 1 \approx \cos\frac{\pi}{3} \approx 0,5;$$ $$y(\pi) = \cos(\sin \pi) = \cos 0 = 1;$$

График функции:

а) $y = \sin(\sin x)$:

1) Функция является нечетной:

Чтобы доказать, что функция является нечетной, нужно показать, что выполняется следующее равенство для всех значений $x$:

$$y(-x) = -y(x)$$

Рассмотрим:

$$y(-x) = \sin(\sin(-x)) = \sin(-\sin x)$$

Поскольку синус — нечетная функция, то $\sin(-x) = -\sin x$. Подставляем это:

$$y(-x) = \sin(-\sin x) = -\sin(\sin x)$$

Таким образом, мы получаем:

$$y(-x) = -y(x)$$

Значит, функция $y = \sin(\sin x)$ является нечетной.

2) Значения функции:

Теперь найдем значения функции в некоторых точках:

• При $x = 0$:

  $$y(0) = \sin(\sin 0) = \sin(0) = 0$$

  Таким образом, $y(0) = 0$.

• При $x = \frac{\pi}{2}$:

  $$y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\sin\frac{\pi}{2}\right) = \sin(1)$$

  Так как $\sin\frac{\pi}{2} = 1$, то это значение приближенно равно:

  $$y\left(\frac{\pi}{2}\right) \approx \sin(1) \approx 0,841$$

• При $x = \pi$:

  $$y(\pi) = \sin(\sin \pi) = \sin(0) = 0$$

  Таким образом, $y(\pi) = 0$.

3) График функции:

б) $y = \sin(\cos x)$:

1) Функция является четной:

Чтобы доказать, что функция является четной, необходимо проверить, что для всех значений $x$ выполняется:

$$y(-x) = y(x)$$

Рассмотрим:

$$y(-x) = \sin(\cos(-x)) = \sin(\cos x)$$

Поскольку $\cos(-x) = \cos x$ (косинус — четная функция), мы получаем:

$$y(-x) = \sin(\cos x) = y(x)$$

Таким образом, функция $y = \sin(\cos x)$ является четной.

2) Значения функции:

Теперь найдем значения функции в некоторых точках:

• При $x = 0$:

  $$y(0) = \sin(\cos 0) = \sin(1)$$

  Приближенно это:

  $$y(0) \approx 0,841$$

• При $x = \frac{\pi}{2}$:

  $$y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\cos\frac{\pi}{2}\right) = \sin(0) = 0$$

  Таким образом, $y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$.

• При $x = \pi$:

  $$y(\pi) = \sin(\cos \pi) = \sin(-1)$$

  Это приближенно равно:

  $$y(\pi) \approx -\sin(1) \approx -0,841$$

3) График функции:

в) $y = \cos(\cos x)$:

1) Функция является четной:

Чтобы доказать, что функция является четной, нужно показать, что для всех значений $x$ выполняется:

$$y(-x) = y(x)$$

Рассмотрим:

$$y(-x) = \cos(\cos(-x)) = \cos(\cos x)$$

Поскольку $\cos(-x) = \cos x$ (косинус — четная функция), мы получаем:

$$y(-x) = \cos(\cos x) = y(x)$$

Таким образом, функция $y = \cos(\cos x)$ является четной.

2) Значения функции:

Теперь найдем значения функции в некоторых точках:

• При $x = 0$:

  $$y(0) = \cos(\cos 0) = \cos(1)$$

  Приближенно это:

  $$y(0) \approx 0,540$$

• При $x = \frac{\pi}{2}$:

  $$y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\cos\frac{\pi}{2}\right) = \cos(0) = 1$$

• При $x = \pi$:

  $$y(\pi) = \cos(\cos \pi) = \cos(-1)$$

  Это приближенно равно:

  $$y(\pi) \approx \cos(1) \approx 0,540$$

3) График функции:

г) $y = \cos(\sin x)$:

1) Функция является четной:

Чтобы доказать, что функция является четной, нужно показать, что для всех значений $x$ выполняется:

$$y(-x) = y(x)$$

Рассмотрим:

$$y(-x) = \cos(\sin(-x)) = \cos(-\sin x)$$

Поскольку косинус — четная функция, то $\cos(-\sin x) = \cos(\sin x)$. Таким образом:

$$y(-x) = y(x)$$

Значит, функция $y = \cos(\sin x)$ является четной.

2) Значения функции:

Теперь найдем значения функции в некоторых точках:

• При $x = 0$:

  $$y(0) = \cos(\sin 0) = \cos(0) = 1$$

• При $x = \frac{\pi}{2}$:

  $$y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\sin\frac{\pi}{2}\right) = \cos(1)$$

  Приближенно это:

  $$y\left(\frac{\pi}{2}\right) \approx 0,540$$

• При $x = \pi$:

  $$y(\pi) = \cos(\sin \pi) = \cos(0) = 1$$

3) График функции: