ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 17.1 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Постройте график функции:

а) $y = 3\sqrt{x}$;

б) $y = -2|x|$;

в) $y = \frac{1}{3}x^4$;

г) $y = -\frac{2}{x^2}$

а) $y = 3\sqrt{x}$;

Построим график функции $y = \sqrt{x}$:

Совершим растяжение графика от оси $Ox$ с коэффициентом $k = 3$:

б) $y = -2|x|$;

Построим график функции $y = |x|$:

Отразим график относительно оси абсцисс;

Совершим растяжение графика от оси $Ox$ с коэффициентом $k = 2$:

в) $y = \frac{1}{3}x^4$;

Построим график функции $y = x^4$:

Совершим сжатие графика к оси $Ox$ с коэффициентом $k = 3$:

г) $y = -\frac{2}{x^2}$;

Построим график функции $y = \frac{1}{x^2}$:

Отразим график относительно оси абсцисс;

Совершим растяжение графика от оси $Ox$ с коэффициентом $k = 2$:

а) $y = 3\sqrt{x}$

1) Построим график функции $y = \sqrt{x}$

Функция $y = \sqrt{x}$ определена для $x \geq 0$, так как извлечение квадратного корня из отрицательных чисел невозможно в области действительных чисел.

Рассмотрим несколько значений $x$ и соответствующие значения $y$:

Так как $y = \sqrt{x}$, то значения $y$ растут с увеличением $x$. График этой функции будет представлять собой растущую кривую, начинающуюся от точки $(0, 0)$ и направляющуюся вправо.

2) Совершим растяжение графика от оси $Ox$ с коэффициентом $k = 3$

Теперь для каждого значения $y$ умножим его на 3, получив новую функцию $y = 3\sqrt{x}$. Это означает, что каждый $y$ на графике функции $y = \sqrt{x}$ будет увеличен в 3 раза.

Для вычислений, если для $y = \sqrt{x}$ для $x = 1$ значение $y = 1$, то для новой функции $y = 3\sqrt{x}$ значение $y = 3 \times 1 = 3$.

График этой функции будет растянут в 3 раза по оси $y$ по сравнению с графиком функции $y = \sqrt{x}$. Таким образом, каждая точка на графике будет перемещена вверх, увеличив значение на коэффициент 3.

б) $y = -2|x|$

1) Построим график функции $y = |x|$

График функции $y = |x|$ представляет собой букву «V», которая симметрична относительно оси $y$. Функция $y = |x|$ определена для всех $x$, и ее значения всегда положительны или равны нулю.

Рассмотрим несколько значений $x$ и соответствующие значения $y$:

Так как $y = |x|$, то для всех значений $x$ график будет либо на оси $y = 0$, либо выше этой оси.

2) Отразим график относительно оси абсцисс

Отражение графика относительно оси абсцисс означает, что мы заменяем $y$ на $-y$. То есть, значения функции $y = |x|$ становятся отрицательными для всех $x \neq 0$.

Таким образом, для графика $y = -|x|$ все значения будут зеркально отражены вниз.

3) Совершим растяжение графика от оси $Ox$ с коэффициентом $k = 2$

Теперь каждый $y$-координат будет умножен на 2. Если для $y = -|x|$ значение $y$ при $x = 1$ равно -1, то для функции $y = -2|x|$ это значение будет $-2 \times 1 = -2$. Это означает, что график будет растянут в 2 раза по оси $y$.

График станет более «крутым», и буква «V» будет вытянута вниз в два раза по сравнению с графиком $y = -|x|$.

в) $y = \frac{1}{3}x^4$

1) Построим график функции $y = x^4$

График функции $y = x^4$ представляет собой четную функцию (симметричен относительно оси $y$), и для $x = 0$, $y = 0$. Для положительных значений $x$ функция растет, а для отрицательных значений $x$ функция также растет (так как четная степень исключает знак).

Рассмотрим несколько значений $x$ и соответствующие значения $y$:

Таким образом, для больших $|x|$ значения функции $y = x^4$ растут очень быстро. Это будет парабола, «развернутая» вверх.

2) Совершим сжатие графика к оси $Ox$ с коэффициентом $k = 3$

Теперь умножим все значения функции на $\frac{1}{3}$, что приведет к сжатию графика по оси $y$. Каждый $y$ будет уменьшен в 3 раза. Если для функции $y = x^4$ при $x = 1$ значение $y = 1$, то для новой функции $y = \frac{1}{3}x^4$ значение будет $\frac{1}{3}$.

Это означает, что график станет менее крутым по сравнению с исходным графиком $y = x^4$, сжмется вертикально на коэффициент $\frac{1}{3}$.

г) $y = -\frac{2}{x^2}$

1) Построим график функции $y = \frac{1}{x^2}$

График функции $y = \frac{1}{x^2}$ является гиперболой. Он определен для всех $x \neq 0$, и значение $y$ всегда положительно. При $x = 0$ функция не определена, а при $x \to \infty$ значение функции стремится к нулю.

Рассмотрим несколько значений $x$ и соответствующие значения $y$:

График будет стремиться к оси $y = 0$ по мере увеличения $|x|$, а вблизи оси $x = 0$ значения функции будут очень большими.

2) Отразим график относительно оси абсцисс

Отражение графика относительно оси абсцисс означает замену знака функции на противоположный, т.е. мы меняем знак на отрицательный:

$$y = -\frac{1}{x^2}$$

Теперь график будет располагаться ниже оси $x$ для всех $x \neq 0$.

3) Совершим растяжение графика от оси $Ox$ с коэффициентом $k = 2$

Теперь каждый $y$-координат будет умножен на 2, что приведет к растяжению графика вдоль оси $y$. Если для функции $y = -\frac{1}{x^2}$ при $x = 1$ значение $y = -1$, то для новой функции $y = -\frac{2}{x^2}$ значение будет $-2$.

Это означает, что график будет растянут по вертикали, и его значения будут удвоены по сравнению с графиком $y = -\frac{1}{x^2}$.