ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 17.11 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Подберите коэффициенты $a$ и $b$ так, чтобы на данном рисунке был изображен график функции $y = a \sin x + b$ или $y = a \cos x + b$:

а) рис. 46;

б) рис. 47;

в) рис. 48;

г) рис. 49.

Подобрать коэффициенты $a$ и $b$ так, чтобы на данном рисунке был изображен график функции $y = a \sin x + b$ или $y = a \cos x + b$.

а) Рисунок 46;

График симметричен относительно точки $(0; 1)$, значит:

$$y = a \sin x + b$$ $$b = 1$$

Расстояние между наибольшим и наименьшим значениями:

$$y_{\text{наим}} = -1, \quad y_{\text{наиб}} = 3$$ $$\Delta y = 3 — (-1) = 3 + 1 = 4$$ $$a = \frac{4}{2} = 2$$

Ответ: $y = 2 \sin x + 1$.

б) Рисунок 47;

График симметричен относительно оси ординат, значит:

$$y = a \cos x + b$$

Расстояние между наибольшим и наименьшим значениями:

$$y_{\text{наим}} = 0,5, \quad y_{\text{наиб}} = 3,5$$ $$\Delta y = 3,5 — 0,5 = 3$$ $$a = \frac{3}{2} = -1,5$$ $$b = 0,5 + 1,5 = 2$$

Ответ: $y = -1,5 \cos x + 2$.

в) Рисунок 48;

График симметричен относительно точки $(0; -2)$, значит:

$$y = a \sin x + b$$ $$b = -2$$

Расстояние между наибольшим и наименьшим значениями:

$$y_{\text{наим}} = -2,5, \quad y_{\text{наиб}} = -1,5$$ $$\Delta y = -1,5 — (-2,5) = 2,5 — 1,5 = 1$$ $$a = \frac{1}{2} = -0,5$$

Ответ: $y = -0,5 \sin x — 2$.

г) Рисунок 49;

График симметричен относительно оси ординат, значит:

$$y = a \cos x + b$$

Расстояние между наибольшим и наименьшим значениями:

$$y_{\text{наим}} = 2,5, \quad y_{\text{наиб}} = -3,5$$ $$\Delta y = 2,5 — (-3,5) = 2,5 + 3,5 = 6$$ $$a = \frac{6}{2} = 3$$ $$b = -3,5 + 3 = -0,5$$

Ответ: $y = 3 \cos x — 0,5$.

Необходимо подобрать коэффициенты $a$ и $b$, чтобы график функции $y = a \sin x + b$ или $y = a \cos x + b$ совпал с изображенным на рисунках. Для этого нужно учесть симметрию графика, его амплитуду, положение срединной линии и максимальные/минимальные значения функции.

а) Рисунок 46

Определение вида функции:

• График симметричен относительно точки $(0; 1)$. Это означает, что центр симметрии графика находится в точке $(0, 1)$, что указывает на то, что график функции будет сдвинут вверх на 1 единицу.
• Так как график симметричен относительно вертикальной линии (ось $y$), это говорит о том, что функция имеет вид $y = a \sin x + b$, а не $y = a \cos x + b$, поскольку синусовая функция имеет периодическую симметрию относительно вертикальных линий.

Следовательно, наша функция принимает вид:

$$y = a \sin x + b$$

Определение коэффициента $b$:

• Мы знаем, что график симметричен относительно точки $(0; 1)$. Это означает, что значение функции в точке $x = 0$ равно 1.

Подставим в уравнение $y = a \sin x + b$ при $x = 0$:

$$y(0) = a \sin(0) + b = 0 + b = b$$

Поскольку $y(0) = 1$, то:

$$b = 1$$

Определение коэффициента $a$:

• Для определения амплитуды графика нужно найти расстояние между максимальным и минимальным значениями функции.
• Максимальное значение графика $y_{\text{наиб}} = 3$, минимальное значение $y_{\text{наим}} = -1$.
• Разница между максимальным и минимальным значениями:

$$\Delta y = y_{\text{наиб}} — y_{\text{наим}} = 3 — (-1) = 3 + 1 = 4$$

• Амплитуда синусоидальной функции равна половине этой разницы, т.е.:

$$\text{Амплитуда} = \frac{\Delta y}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

• Таким образом, коэффициент $a$, отвечающий за амплитуду, равен 2:

$$a = 2$$

Ответ:

Подставив найденные значения $a = 2$ и $b = 1$, получаем:

$$y = 2 \sin x + 1$$

б) Рисунок 47

Определение вида функции:

• График симметричен относительно оси ординат. Это означает, что функция является чётной, т.е. симметрична относительно вертикальной оси $y$. В таких случаях функция будет иметь вид $y = a \cos x + b$, поскольку косинусовая функция является чётной (симметрична относительно оси ординат).

Следовательно, наша функция принимает вид:

$$y = a \cos x + b$$

Определение коэффициента $b$:

• Мы знаем, что график симметричен относительно оси ординат. Из этого следует, что центр симметрии графика будет располагаться на оси $y$.
• Позиция срединной линии графика, на которой находятся все средние значения функции, будет в точке $y = 2$, так как видим на графике, что средняя линия проходит через $y = 2$.

Следовательно, $b = 2$.

Определение коэффициента $a$:

• Для определения амплитуды функции находим разницу между максимальным и минимальным значениями функции.
• Максимальное значение $y_{\text{наиб}} = 3,5$, минимальное значение $y_{\text{наим}} = 0,5$.
• Разница между максимальным и минимальным значениями:

$$\Delta y = y_{\text{наиб}} — y_{\text{наим}} = 3,5 — 0,5 = 3$$

• Амплитуда функции равна половине этой разницы:

$$\text{Амплитуда} = \frac{\Delta y}{2} = \frac{3}{2} = 1,5$$

• Таким образом, коэффициент $a$ равен $1,5$, но поскольку график идет вниз (значения функции уменьшаются), то $a = -1,5$.

Ответ:

Подставив найденные значения $a = -1,5$ и $b = 2$, получаем:

$$y = -1,5 \cos x + 2$$

в) Рисунок 48

Определение вида функции:

• График симметричен относительно точки $(0; -2)$. Это означает, что график будет сдвинут вниз на 2 единицы.
• Поскольку график симметричен относительно вертикальной оси $x = 0$, функция имеет вид $y = a \sin x + b$, так как синусовая функция симметрична относительно вертикальных осей.

Следовательно, наша функция имеет вид:

$$y = a \sin x + b$$

Определение коэффициента $b$:

• Мы знаем, что график симметричен относительно точки $(0; -2)$, следовательно, центр симметрии находится в точке $y = -2$. Это дает значение для $b$:

$$b = -2$$

Определение коэффициента $a$:

• Для определения амплитуды вычислим разницу между максимальным и минимальным значениями функции.
• Максимальное значение $y_{\text{наиб}} = -1,5$, минимальное значение $y_{\text{наим}} = -2,5$.
• Разница между максимальным и минимальным значениями:

$$\Delta y = y_{\text{наиб}} — y_{\text{наим}} = -1,5 — (-2,5) = 2,5 — 1,5 = 1$$

• Амплитуда функции равна половине этой разницы:

$$\text{Амплитуда} = \frac{\Delta y}{2} = \frac{1}{2} = 0,5$$

• Таким образом, коэффициент $a = -0,5$, так как график идет вниз (значения функции уменьшаются).

Ответ:

Подставив найденные значения $a = -0,5$ и $b = -2$, получаем:

$$y = -0,5 \sin x — 2$$

г) Рисунок 49

Определение вида функции:

• График симметричен относительно оси ординат. Это указывает на чётность функции, значит, функция имеет вид $y = a \cos x + b$.

Следовательно, наша функция имеет вид:

$$y = a \cos x + b$$

Определение коэффициента $b$:

• Мы знаем, что график симметричен относительно оси ординат, а значит, центр симметрии графика будет находиться на оси $y$.
• Позиция срединной линии на графике будет в точке $y = -0,5$, так как это видим на графике.

Следовательно, $b = -0,5$.

Определение коэффициента $a$:

• Для определения амплитуды вычислим разницу между максимальным и минимальным значениями функции.
• Максимальное значение $y_{\text{наиб}} = 2,5$, минимальное значение $y_{\text{наим}} = -3,5$.
• Разница между максимальным и минимальным значениями:

$$\Delta y = y_{\text{наиб}} — y_{\text{наим}} = 2,5 — (-3,5) = 2,5 + 3,5 = 6$$

• Амплитуда функции равна половине этой разницы:

$$\text{Амплитуда} = \frac{\Delta y}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

• Таким образом, коэффициент $a = 3$.

Ответ:

Подставив найденные значения $a = 3$ и $b = -0,5$, получаем:

$$y = 3 \cos x — 0,5$$

Итоговые ответы:

а) $y = 2 \sin x + 1$

б) $y = -1,5 \cos x + 2$

в) $y = -0,5 \sin x — 2$

г) $y = 3 \cos x — 0,5$