ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 17.12 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Подберите коэффициенты $a$ и $b$ так, чтобы на данном рисунке был изображен график функции $y = a \sin(x + b)$ или $y = a \cos(x + b)$:

а) рис. 50;

б) рис. 51;

в) рис. 52;

г) рис. 53.

Подобрать коэффициенты $a$ и $b$ так, чтобы на данном рисунке был изображен график функции $y = a \sin(x + b)$ или $y = a \cos(x + b)$.

а) Рисунок 50;

Допустим, что на рисунке изображен график функции:
$y = a \sin(x + b);$

График симметричен относительно точки $\left( \frac{\pi}{3}; 0 \right)$, значит:
$b = -\frac{\pi}{3};$

Расстояние между наибольшим и наименьшим значениями:
$y_{\text{наим}} = -1, \quad y_{\text{наиб}} = 1;$
$\Delta y = 1 — (-1) = 1 + 1 = 2;$
$a = \frac{2}{2} = -1;$

Ответ: $y = -\sin \left( x — \frac{\pi}{3} \right)$.

б) Рисунок 51;

Допустим, что на рисунке изображен график функции:
$y = a \cos(x + b);$

Вершина графика находится в точке $\left( -\frac{\pi}{6}; 0 \right)$, значит:
$b = \frac{\pi}{6};$

Расстояние между наибольшим и наименьшим значениями:
$y_{\text{наим}} = -2, \quad y_{\text{наиб}} = 2;$
$\Delta y = 2 — (-2) = 2 + 2 = 4;$
$a = \frac{4}{2} = 2;$

Ответ: $y = 2 \cos \left( x + \frac{\pi}{6} \right)$.

в) Рисунок 52;

Допустим, что на рисунке изображен график функции:
$y = a \sin(x + b);$

График симметричен относительно точки $\left( -\frac{5\pi}{6}; 0 \right)$, значит:
$b = \frac{5\pi}{6};$

Расстояние между наибольшим и наименьшим значениями:
$y_{\text{наим}} = -1.5, \quad y_{\text{наиб}} = 1.5;$
$\Delta y = 1.5 — (-1.5) = 1.5 + 1.5 = 3;$
$a = \frac{3}{2} = 1.5;$

Ответ: $y = 1.5 \sin \left( x + \frac{5\pi}{6} \right)$.

г) Рисунок 53;

Допустим, что на рисунке изображен график функции:
$y = a \cos(x + b);$

Вершина графика находится в точке $\left( \frac{2\pi}{3}; 0 \right)$, значит:
$b = -\frac{2\pi}{3};$

Расстояние между наибольшим и наименьшим значениями:
$y_{\text{наим}} = -3, \quad y_{\text{наиб}} = 3;$
$\Delta y = 3 — (-3) = 3 + 3 = 6;$
$a = \frac{6}{2} = -3;$

Ответ: $y = -3 \cos \left( x — \frac{2\pi}{3} \right)$.

Нужно подобрать коэффициенты $a$ и $b$ для графиков функций $y = a \sin(x + b)$ или $y = a \cos(x + b)$, исходя из изображения графика функции.

а) Рисунок 50

Предположение:
Пусть на рисунке изображен график функции:

$$y = a \sin(x + b)$$

Мы предполагаем, что функция имеет вид синуса, а затем будем работать с этим предположением.

Определение параметра $b$:
Мы знаем, что график функции $y = a \sin(x + b)$ имеет симметрию относительно точки $x = -b$. Это значит, что точка $x = -b$ — это точка, в которой график пересекает ось $x$, если функция $a \sin(x + b)$ имеет амплитуду $a$.

На рисунке видно, что график симметричен относительно точки $\left( \frac{\pi}{3}; 0 \right)$. Это означает, что:

$$-b = \frac{\pi}{3}, \quad \text{или} \quad b = -\frac{\pi}{3}$$

Определение параметра $a$:
График синусоиды $y = a \sin(x + b)$ имеет амплитуду, равную $|a|$. То есть максимальное отклонение графика от оси $x$ будет равно $|a|$. Для определения значения $a$ нужно найти расстояние между наибольшим и наименьшим значениями функции.

На рисунке видно, что график колеблется между значениями $y = 1$ и $y = -1$, то есть:

$$y_{\text{наиб}} = 1, \quad y_{\text{наим}} = -1$$

Расстояние между наибольшим и наименьшим значениями:

$$\Delta y = y_{\text{наиб}} — y_{\text{наим}} = 1 — (-1) = 2$$

Поскольку амплитуда функции равна половине этого расстояния, мы имеем:

$$|a| = \frac{\Delta y}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

Так как на графике значение $y$ колеблется от -1 до 1, а сам график опущен вниз (то есть амплитуда с отрицательным знаком), то:

$$a = -1$$

Ответ для пункта (а):

$$y = -\sin\left(x — \frac{\pi}{3}\right)$$

б) Рисунок 51

Предположение:
Пусть на рисунке изображен график функции:

$$y = a \cos(x + b)$$

Теперь предполагаем, что график функции — это косинус.

Определение параметра $b$:
График функции $y = a \cos(x + b)$ имеет симметрию относительно точки $x = -b$, где функция пересекает ось $x$, если $a$ положительно. На рисунке видно, что вершина графика находится в точке $\left( -\frac{\pi}{6}; 0 \right)$, что означает:

$$-b = -\frac{\pi}{6}, \quad \text{или} \quad b = \frac{\pi}{6}$$

Определение параметра $a$:
Для функции $y = a \cos(x + b)$ амплитуда также определяется как половина расстояния между наибольшим и наименьшим значениями графика.

На рисунке график колеблется между значениями $y = 2$ и $y = -2$, то есть:

$$y_{\text{наиб}} = 2, \quad y_{\text{наим}} = -2$$

Расстояние между наибольшим и наименьшим значениями:

$$\Delta y = y_{\text{наиб}} — y_{\text{наим}} = 2 — (-2) = 4$$

Амплитуда:

$$|a| = \frac{\Delta y}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

Так как график на рисунке показывает колебания функции $y = 2 \cos(x + b)$, то:

$$a = 2$$

Ответ для пункта (б):

$$y = 2 \cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$$

в) Рисунок 52

Предположение:
Пусть на рисунке изображен график функции:

$$y = a \sin(x + b)$$

Предполагаем, что функция синуса.

Определение параметра $b$:
График функции $y = a \sin(x + b)$ имеет симметрию относительно точки $x = -b$. На рисунке видно, что график симметричен относительно точки $\left( -\frac{5\pi}{6}; 0 \right)$, что означает:

$$-b = -\frac{5\pi}{6}, \quad \text{или} \quad b = \frac{5\pi}{6}$$

Определение параметра $a$:
На рисунке график колеблется между значениями $y = 1.5$ и $y = -1.5$, то есть:

$$y_{\text{наиб}} = 1.5, \quad y_{\text{наим}} = -1.5$$

Расстояние между наибольшим и наименьшим значениями:

$$\Delta y = y_{\text{наиб}} — y_{\text{наим}} = 1.5 — (-1.5) = 3$$

Амплитуда:

$$|a| = \frac{\Delta y}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$$

Таким образом, амплитуда функции равна $1.5$, и:

$$a = 1.5$$

Ответ для пункта (в):

$$y = 1.5 \sin\left(x + \frac{5\pi}{6}\right)$$

г) Рисунок 53

Предположение:
Пусть на рисунке изображен график функции:

$$y = a \cos(x + b)$$

Предполагаем, что функция косинуса.

Определение параметра $b$:
График функции $y = a \cos(x + b)$ имеет симметрию относительно точки $x = -b$. На рисунке видно, что вершина графика находится в точке $\left( \frac{2\pi}{3}; 0 \right)$, что означает:

$$-b = \frac{2\pi}{3}, \quad \text{или} \quad b = -\frac{2\pi}{3}$$

Определение параметра $a$:
На рисунке график колеблется между значениями $y = 3$ и $y = -3$, то есть:

$$y_{\text{наиб}} = 3, \quad y_{\text{наим}} = -3$$

Расстояние между наибольшим и наименьшим значениями:

$$\Delta y = y_{\text{наиб}} — y_{\text{наим}} = 3 — (-3) = 6$$

Амплитуда:

$$|a| = \frac{\Delta y}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

Так как график показывает колебания с амплитудой 3 и ось $y$ направлена вниз, то:

$$a = -3$$

Ответ для пункта (г):

$$y = -3 \cos\left(x — \frac{2\pi}{3}\right)$$