ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 17.13 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Составьте возможную аналитическую запись функции по ее графику, изображенному:

а) на рис. 54;

б) на рис. 55.

Составить возможную аналитическую запись функции по ее графику:

а) Рисунок 54;

На луче $(-∞; 0]$ изображена ветвь параболы:
$y = a(x + b)^2 + c;$

Вершина лежит в точке $(0; 0)$, значит:
$b = 0, \quad c = 0;$
$y = ax^2;$

График проходит через точку $(-1; 1)$, значит:
$a(-1)^2 = 1 \quad => \quad a = 1;$
$y = x^2;$

На отрезке $[0; π]$ изображена дуга синусоиды:
$y = a \sin(x + b) + c;$

Центр симметрии лежит в точке $(0; 0)$, значит:
$b = 0, \quad c = 0;$
$y = a \sin x;$

Вершина лежит в точке $\left( \frac{π}{2}; \frac{1}{2} \right)$, значит:
$a = \frac{1}{2};$
$y = \frac{1}{2} \sin x;$

Ответ:

$$\begin{cases} x^2, & \text{если } x < 0 \\ \frac{1}{2} \sin x, & \text{если } 0 \leq x \leq π \end{cases}$$

б) Рисунок 55;

На отрезке $[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ изображена дуга синусоиды:
$y = a \cos(x + b) + c;$

Вершина лежит в точке $\left( 0; \frac{3}{2} \right)$, значит:
$b = 0, \quad c = 0, \quad a = \frac{3}{2};$
$y = \frac{3}{2} \cos x;$

На луче $[\frac{π}{2}; +∞)$ изображена прямая:
$y = kx + b;$

График проходит через точку $\left( \frac{π}{2}; 0 \right)$, значит:
$0 = k \frac{π}{2} + b \quad => \quad k = 1, \quad b = -\frac{π}{2};$
$y = x — \frac{π}{2};$

Ответ:

$$\begin{cases} \frac{3}{2} \cos x, & \text{если } -\frac{π}{2} \leq x \leq \frac{π}{2} \\ x — \frac{π}{2}, & \text{если } x > \frac{π}{2} \end{cases}$$

Составить возможную аналитическую запись функции по ее графику:

а) Рисунок 54

На луче $(-∞; 0]$ изображена ветвь параболы:

$y = a(x + b)^2 + c;$

Шаг 1. Определение параметров параболы.

Парабола открывается вверх или вниз, и она имеет вершину в точке $(0; 0)$. Это дает следующие условия для параметров:

• Вершина параболы: $(x_{\text{вершина}}, y_{\text{вершина}}) = (0, 0)$

  Это означает, что $x_{\text{вершина}} = 0$ и $y_{\text{вершина}} = 0$, следовательно:

  • $b = 0$
  • $c = 0$

Таким образом, уравнение параболы упрощается до:
$y = ax^2$

Шаг 2. Определение коэффициента $a$.

График параболы проходит через точку $(-1; 1)$. Мы можем подставить эту точку в уравнение $y = ax^2$ для нахождения $a$:

• Подставим $x = -1$ и $y = 1$ в уравнение $y = ax^2$:
  $1 = a(-1)^2$
  $1 = a \times 1 \quad \Rightarrow \quad a = 1$

Таким образом, уравнение параболы теперь выглядит как:
$y = x^2$

На отрезке $[0; π]$ изображена дуга синусоиды:

$y = a \sin(x + b) + c;$

Шаг 1. Определение параметров синусоиды.

Для дуги синусоиды, которая изображена на интервале $[0; π]$, у нас также есть информация о симметрии.

• Центр симметрии синусоиды лежит в точке $(0; 0)$, что означает, что $b = 0$ и $c = 0$.

Таким образом, уравнение синусоиды принимает вид:
$y = a \sin x$

Шаг 2. Определение амплитуды $a$.

График синусоиды достигает вершины в точке $\left( \frac{\pi}{2}; \frac{1}{2} \right)$, что позволяет найти значение $a$.

• В точке $\left( \frac{\pi}{2}; \frac{1}{2} \right)$ синусоида принимает значение $y = \frac{1}{2}$. Подставляем $x = \frac{\pi}{2}$ и $y = \frac{1}{2}$ в уравнение $y = a \sin x$:
  $\frac{1}{2} = a \sin \left( \frac{\pi}{2} \right)$
  $\frac{1}{2} = a \times 1 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{1}{2}$

Таким образом, уравнение синусоиды:
$y = \frac{1}{2} \sin x$

Шаг 3. Итоговое уравнение.

На основе полученной информации можно записать аналитическое выражение для функции:

$$y = \begin{cases} x^2, & \text{если } x < 0 \\ \frac{1}{2} \sin x, & \text{если } 0 \leq x \leq π \end{cases}$$

б) Рисунок 55

На отрезке $[- \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ изображена дуга синусоиды:

$y = a \cos(x + b) + c;$

Шаг 1. Определение параметров косинусоиды.

Вершина косинусоиды находится в точке $\left( 0; \frac{3}{2} \right)$, что позволяет определить параметры $a$ и $c$:

• $b = 0$, так как центр симметрии синусоиды расположен в точке $(0; \frac{3}{2})$.
• $c = 0$ также, так как синусоида проходит через ось $x$.
• Амплитуда равна $a = \frac{3}{2}$, так как в точке $x = 0$ значение функции равно $\frac{3}{2}$, что соответствует максимальному значению косинусоиды.

Таким образом, уравнение косинусоиды будет:
$y = \frac{3}{2} \cos x$

На луче $[\frac{\pi}{2}; +∞)$ изображена прямая:

$y = kx + b;$

Шаг 1. Определение уравнения прямой.

Прямая проходит через точку $\left( \frac{\pi}{2}; 0 \right)$, и мы знаем, что ее уравнение имеет вид $y = kx + b$.

• Подставляем $x = \frac{\pi}{2}$ и $y = 0$ в уравнение прямой:
  $0 = k \times \frac{\pi}{2} + b$
  $0 = \frac{k\pi}{2} + b \quad \Rightarrow \quad b = -\frac{k\pi}{2}$

Теперь, для нахождения коэффициента $k$, мы знаем, что прямая имеет угловой коэффициент $k = 1$ (это видно из графика, так как прямая имеет угловой наклон, равный 1). Таким образом:

• $k = 1$
• $b = -\frac{\pi}{2}$

Уравнение прямой:
$y = x — \frac{\pi}{2}$

Шаг 2. Итоговое уравнение.

На основе полученной информации можно записать аналитическое выражение для функции:

$$y = \begin{cases} \frac{3}{2} \cos x, & \text{если } -\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2} \\ x — \frac{\pi}{2}, & \text{если } x > \frac{\pi}{2} \end{cases}$$