ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 17.16 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) $2 \cos x < 2 + x^4$;

б) $-2 \sin x > \frac{9}{\pi^2}(x + \frac{\pi}{2})^2$

а) $2 \cos x < 2 + x^4$;

$y = 2 \cos x$ — уравнение синусоиды;

$y = 2 + x^4$ — уравнение параболы:

$x_0 = 0, y_0 = 2$;

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -1 & 0 & 1 \\ \hline y & 3 & 2 & 3 \\ \hline \end{array}$$

Графики функций:

Ответ: $x \neq 0$.

б) $-2 \sin x > \frac{9}{\pi^2}(x + \frac{\pi}{2})^2$;

$y = -2 \sin x$ — уравнение синусоиды;

$y = \frac{9}{\pi^2}(x + \frac{\pi}{2})^2$ — уравнение параболы:

$x_0 = -\frac{\pi}{2}, y_0 = 0$;

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -\frac{5\pi}{6} & -\frac{\pi}{2} & -\frac{\pi}{6} \\ \hline y & 1 & 0 & 1 \\ \hline \end{array}$$

Графики функций:

Ответ: $-\frac{5\pi}{6} < x < -\frac{\pi}{6}$.

а) $2 \cos x < 2 + x^4$

1) Уравнение синусоиды $y = 2 \cos x$

Это стандартное уравнение для функции косинуса с амплитудой 2. Основные моменты:

• Амплитуда функции $y = 2 \cos x$ равна 2, то есть максимум функции равен 2, а минимум — -2.
• Функция $\cos x$ периодична с периодом $2\pi$, но при умножении на 2 амплитуда меняется, но период остается тот же. То есть функция будет периодически изменяться между значениями 2 и -2, с периодом $2\pi$.

2) Уравнение параболы $y = 2 + x^4$

Это уравнение параболы, открывающейся вверх. Важные моменты:

• Вершина параболы находится в точке $x = 0$, где $y = 2$, так как при $x = 0$ значение $y = 2 + 0^4 = 2$.
• Для любых других значений $x$, функция будет возрастать. Например, при $x = 1$ мы получаем $y = 2 + 1^4 = 3$, а при $x = -1$ аналогично $y = 3$.
• Парабола симметрична относительно оси $y$-ошибки, то есть для всех $x$ значение $y$ будет одинаковым для $x$ и $-x$.

3) Графики функций

Решим неравенство:

Неравенство $2 \cos x < 2 + x^4$ нужно решить для $x$. Точно это сделать можно только численно или графически, но можно оценить, что в точке $x = 0$ обе функции равны 2, и затем необходимо исследовать поведение этих функций для других значений $x$.

• Для $x = 0$:

  $$2 \cos 0 = 2 \quad \text{и} \quad 2 + 0^4 = 2$$

  Обе функции равны 2, то есть на $x = 0$ неравенство не выполняется.

• Для $x = 1$:

  $$2 \cos 1 \approx 1.08 \quad \text{и} \quad 2 + 1^4 = 3$$

  Здесь $1.08 < 3$, то есть неравенство выполняется.

• Для $x = -1$:

  $$2 \cos (-1) \approx 1.08 \quad \text{и} \quad 2 + (-1)^4 = 3$$

  Так как $1.08 < 3$, неравенство выполняется.

• Для $x = 2$:

  $$2 \cos 2 \approx -1.83 \quad \text{и} \quad 2 + 2^4 = 18$$

  Неравенство выполняется, так как $-1.83 < 18$.

Следовательно, неравенство выполняется для всех $x \neq 0$. В точке $x = 0$ оно не выполняется, потому что обе функции дают одинаковое значение 2. Таким образом, ответ: $x \neq 0$.

б) $-2 \sin x > \frac{9}{\pi^2} (x + \frac{\pi}{2})^2$

1) Уравнение синусоиды $y = -2 \sin x$

Это также стандартная синусоидальная функция, но с определенными модификациями:

• Амплитуда функции $y = -2 \sin x$ равна 2, то есть функция будет изменяться от -2 до 2.
• Функция синуса периодична, с периодом $2\pi$. Однако при умножении на -2 амплитуда не изменяется, только функция меняет знак. То есть она будет колебаться между -2 и 2.
• Максимум функции $y = -2 \sin x$ равен 2, а минимум — -2.

2) Уравнение параболы $y = \frac{9}{\pi^2} (x + \frac{\pi}{2})^2$

Это парабола, открывающаяся вверх. Важные моменты:

• Вершина параболы находится в точке $x = -\frac{\pi}{2}$, где $y = 0$. То есть для $x = -\frac{\pi}{2}$ значение $y = 0$, а для других значений $x$ функция возрастает.
• Например, при $x = -\frac{5\pi}{6}$ мы получаем:

  $$y = \frac{9}{\pi^2} \left( -\frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{2} \right)^2 = \frac{9}{\pi^2} \left( -\frac{\pi}{3} \right)^2 = \frac{9}{\pi^2} \cdot \frac{\pi^2}{9} = 1$$

• Парабола симметрична относительно точки $x = -\frac{\pi}{2}$.

3) Графики функций

Теперь решим неравенство:

Для $x = -\frac{\pi}{2}$:

$$-2 \sin \left( -\frac{\pi}{2} \right) = 2 \quad \text{и} \quad \frac{9}{\pi^2} \left( -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \right)^2 = 0$$

Неравенство выполняется, так как $2 > 0$.

Для $x = -\frac{5\pi}{6}$:

$$-2 \sin \left( -\frac{5\pi}{6} \right) = 2 \quad \text{и} \quad \frac{9}{\pi^2} \left( -\frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{2} \right)^2 = 1$$

Здесь $2 > 1$, неравенство также выполняется.

Для $x = -\frac{\pi}{6}$:

$$-2 \sin \left( -\frac{\pi}{6} \right) = 1 \quad \text{и} \quad \frac{9}{\pi^2} \left( -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} \right)^2 = 1$$

Здесь $1 \not> 1$, то есть неравенство не выполняется.

Ответ: Неравенство выполняется при $-\frac{5\pi}{6} < x < -\frac{\pi}{6}$, так как на этих отрезках левая часть больше правой.