ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 17.4 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $y = -2 \sin x$;

б) $y = -3 \cos x$;

в) $y = 1,5 \sin x$;

г) $y = -1,5 \cos x$

а) $y = -2 \sin x$;

Построим график функции $y = \sin x$;

Отразим график относительно оси абсцисс;

Совершим растяжение графика от оси $Ox$ с коэффициентом $k = 2$.

б) $y = -3 \cos x$;

Построим график функции $y = \cos x$;

Отразим график относительно оси абсцисс;

Совершим растяжение графика от оси $Ox$ с коэффициентом $k = 3$.

в) $y = 1,5 \sin x$;

Построим график функции $y = \sin x$;

Совершим растяжение графика от оси $Ox$ с коэффициентом $k = 1,5$.

г) $y = -1,5 \cos x$;

Построим график функции $y = \cos x$;

Отразим график относительно оси абсцисс;

Совершим растяжение графика от оси $Ox$ с коэффициентом $k = 1,5$.

а) $y = -2 \sin x$

1) Построим график функции $y = \sin x$

Функция $y = \sin x$ — это стандартная синусоида. Рассмотрим несколько значений $x$ и соответствующие значения $y$:

График функции $y = \sin x$ представляет собой волну, которая:

• В точке $x = 0$ принимает значение $0$,
• В точке $x = \frac{\pi}{2}$ принимает значение $1$,
• В точке $x = \pi$ принимает значение $0$,
• В точке $x = \frac{3\pi}{2}$ принимает значение $-1$,
• В точке $x = 2\pi$ снова принимает значение $0$.

График синусоиды будет колебаться между значениями $-1$ и $1$, с периодом $2\pi$.

2) Отразим график относительно оси абсцисс

Отражение графика относительно оси абсцисс означает замену знака функции. Если для функции $y = \sin x$ при $x = \frac{\pi}{2}$ было значение $y = 1$, то для отраженной функции $y = -\sin x$ это значение будет $y = -1$. Таким образом, график будет «повернут» вниз.

После отражения:

• Для $x = 0$, $y = 0$,
• Для $x = \frac{\pi}{2}$, $y = -1$,
• Для $x = \pi$, $y = 0$,
• Для $x = \frac{3\pi}{2}$, $y = 1$,
• Для $x = 2\pi$, $y = 0$.

График функции $y = -\sin x$ будет точно таким же по форме, как график $y = \sin x$, но расположен ниже оси $x$.

3) Совершим растяжение графика от оси $Ox$ с коэффициентом $k = 2$

Растяжение графика функции по оси $y$ с коэффициентом 2 означает, что каждый $y$-координат будет умножен на 2. Таким образом, новая функция будет $y = -2 \sin x$. Пример для нескольких значений $x$:

• Для $x = 0$, $y = 2 \times 0 = 0$,
• Для $x = \frac{\pi}{2}$, $y = 2 \times (-1) = -2$,
• Для $x = \pi$, $y = 2 \times 0 = 0$,
• Для $x = \frac{3\pi}{2}$, $y = 2 \times 1 = 2$,
• Для $x = 2\pi$, $y = 2 \times 0 = 0$.

График функции $y = -2 \sin x$ будет иметь амплитуду 2, то есть он будет растянут по вертикали в 2 раза.

б) $y = -3 \cos x$

1) Построим график функции $y = \cos x$

График функции $y = \cos x$ является стандартной косинусоидой. Рассмотрим несколько значений $x$ и соответствующие значения $y$:

График функции $y = \cos x$ будет выглядеть как волна, колеблющаяся между значениями $-1$ и $1$ с периодом $2\pi$. Он будет проходить через точки $(0, 1)$, $\left( \frac{\pi}{2}, 0 \right)$, $(\pi, -1)$, $\left( \frac{3\pi}{2}, 0 \right)$, $(2\pi, 1)$.

2) Отразим график относительно оси абсцисс

Отражение графика относительно оси абсцисс также будет означать изменение знака функции. Функция $y = \cos x$ станет $y = -\cos x$. График будет зеркально отражен вниз.

• Для $x = 0$, $y = -1$,
• Для $x = \frac{\pi}{2}$, $y = 0$,
• Для $x = \pi$, $y = 1$,
• Для $x = \frac{3\pi}{2}$, $y = 0$,
• Для $x = 2\pi$, $y = -1$.

Теперь весь график будет располагаться ниже оси $x$.

3) Совершим растяжение графика от оси $Ox$ с коэффициентом $k = 3$

Растяжение графика функции по оси $y$ с коэффициентом 3 означает, что все значения $y$ будут умножены на 3. Таким образом, новая функция будет $y = -3 \cos x$. Пример для нескольких значений:

• Для $x = 0$, $y = 3 \times (-1) = -3$,
• Для $x = \frac{\pi}{2}$, $y = 3 \times 0 = 0$,
• Для $x = \pi$, $y = 3 \times 1 = 3$,
• Для $x = \frac{3\pi}{2}$, $y = 3 \times 0 = 0$,
• Для $x = 2\pi$, $y = 3 \times (-1) = -3$.

График функции $y = -3 \cos x$ будет иметь амплитуду 3, то есть его «высота» увеличится в 3 раза по сравнению с графиком $y = -\cos x$.

в) $y = 1,5 \sin x$

1) Построим график функции $y = \sin x$

График функции $y = \sin x$ был рассмотрен в пункте 1 для функции $y = -2 \sin x$, и он представляет собой стандартную синусоиду, колеблющуюся между $-1$ и $1$.

2) Совершим растяжение графика от оси $Ox$ с коэффициентом $k = 1,5$

Растяжение графика функции по оси $y$ с коэффициентом 1,5 означает, что каждый $y$-координат будет умножен на 1,5. Таким образом, новая функция будет $y = 1,5 \sin x$. Пример для нескольких значений:

• Для $x = 0$, $y = 1,5 \times 0 = 0$,
• Для $x = \frac{\pi}{2}$, $y = 1,5 \times 1 = 1,5$,
• Для $x = \pi$, $y = 1,5 \times 0 = 0$,
• Для $x = \frac{3\pi}{2}$, $y = 1,5 \times (-1) = -1,5$,
• Для $x = 2\pi$, $y = 1,5 \times 0 = 0$.

График функции $y = 1,5 \sin x$ будет колебаться между $-1,5$ и $1,5$, и амплитуда синусоиды увеличится в 1,5 раза по сравнению с графиком $y = \sin x$.

г) $y = -1,5 \cos x$

1) Построим график функции $y = \cos x$

График функции $y = \cos x$ был рассмотрен в пункте 1 для функции $y = -3 \cos x$, и он представляет собой стандартную косинусоиду, колеблющуюся между $-1$ и $1$.

2) Отразим график относительно оси абсцисс

Отражение графика относительно оси абсцисс также будет заключаться в изменении знака функции. Таким образом, функция $y = \cos x$ станет $y = -\cos x$. График будет отражен вниз.

• Для $x = 0$, $y = -1$,
• Для $x = \frac{\pi}{2}$, $y = 0$,
• Для $x = \pi$, $y = 1$,
• Для $x = \frac{3\pi}{2}$, $y = 0$,
• Для $x = 2\pi$, $y = -1$.

3) Совершим растяжение графика от оси $Ox$ с коэффициентом $k = 1,5$

Для растяжения графика функции по оси $y$ с коэффициентом 1,5, все значения $y$ будут умножены на 1,5. Таким образом, новая функция будет $y = -1,5 \cos x$. Пример для нескольких значений:

• Для $x = 0$, $y = -1,5 \times 1 = -1,5$,
• Для $x = \frac{\pi}{2}$, $y = -1,5 \times 0 = 0$,
• Для $x = \pi$, $y = -1,5 \times (-1) = 1,5$,
• Для $x = \frac{3\pi}{2}$, $y = -1,5 \times 0 = 0$,
• Для $x = 2\pi$, $y = -1,5 \times 1 = -1,5$.

График функции $y = -1,5 \cos x$ будет иметь амплитуду 1,5, то есть его «высота» увеличится в 1,5 раза по сравнению с графиком $y = -\cos x$.