ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 17.5 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = 2 \cos x$:

а) На отрезке $\left[ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right]$:

б) На интервале $\left( 0; \frac{3\pi}{2} \right)$:

в) На полуинтервале $\left[ \frac{\pi}{3}; \frac{3\pi}{2} \right)$:

$$y\left( \frac{3\pi}{2} \right) = 2 \cos \frac{3\pi}{2} = 2 \cdot 0 = 0;$$г) На отрезке $\left[ -\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{4} \right]$

Найти наименьшее и наибольшее значения функции $y = 2 \cos x$:

а) На отрезке $\left[ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right]$:

Функция возрастает на $\left[ -\frac{\pi}{2}; 0 \right]$ и убывает на $\left[ 0; \frac{\pi}{2} \right]$;

$$y\left( -\frac{\pi}{2} \right) = 2 \cos \left( -\frac{\pi}{2} \right) = 2 \cos \frac{\pi}{2} = 2 \cdot 0 = 0;$$ $$y(0) = 2 \cos 0 = 2 \cdot 1 = 2;$$ $$y\left( \frac{\pi}{2} \right) = 2 \cos \frac{\pi}{2} = 0;$$

Ответ: $y_{\text{наим}} = 0$; $y_{\text{наиб}} = 2$.

б) На интервале $\left( 0; \frac{3\pi}{2} \right)$:

Функция возрастает на $\left[ \pi; \frac{3\pi}{2} \right)$ и убывает на $(0; \pi]$;

$$y(0) = 2 \cos 0 = 2 \cdot 1 = 2;$$ $$y(\pi) = 2 \cos \pi = 2 \cdot (-1) = -2;$$ $$y\left( \frac{3\pi}{2} \right) = 2 \cos \frac{3\pi}{2} = 2 \cdot 0 = 0;$$

Ответ: $y_{\text{наим}} = -2$; $y_{\text{наиб}}$ — нет.

в) На полуинтервале $\left[ \frac{\pi}{3}; \frac{3\pi}{2} \right)$:

Функция возрастает на $\left[ \pi; \frac{3\pi}{2} \right)$ и убывает на $\left[ \frac{\pi}{3}; \pi \right]$;

$$y\left( \frac{\pi}{3} \right) = 2 \cos \frac{\pi}{3} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1;$$ $$y(\pi) = 2 \cos \pi = 2 \cdot (-1) = -2;$$ $$y\left( \frac{3\pi}{2} \right) = 2 \cos \frac{3\pi}{2} = 2 \cdot 0 = 0;$$

Ответ: $y_{\text{наим}} = -2$; $y_{\text{наиб}} = 1$.

г) На отрезке $\left[ -\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{4} \right]$:

Функция возрастает на $\left[ -\pi; -\frac{\pi}{4} \right]$ и убывает на $\left[ -\frac{3\pi}{2}; -\pi \right]$;

$$y\left( -\frac{3\pi}{2} \right) = 2 \cos \left( -\frac{3\pi}{2} \right) = 2 \cos \frac{3\pi}{2} = 2 \cdot 0 = 0;$$ $$y(-\pi) = 2 \cos (-\pi) = 2 \cos \pi = 2 \cdot (-1) = -2;$$ $$y\left( -\frac{\pi}{4} \right) = 2 \cos \left( -\frac{\pi}{4} \right) = 2 \cos \frac{\pi}{4} = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2};$$

Ответ: $y_{\text{наим}} = -2$; $y_{\text{наиб}} = \sqrt{2}$.

а) На отрезке $\left[ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right]$

Шаг 1: Поведение функции на отрезке $\left[ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right]$

Функция $y = 2 \cos x$ — это стандартная косинусоидальная функция, умноженная на коэффициент 2. Косинус — это функция, которая имеет максимальное значение в точке $x = 0$ и убывает на интервале $\left[ 0; \frac{\pi}{2} \right]$, а на интервале $\left[ -\frac{\pi}{2}; 0 \right]$ она возрастает.

• На интервале $\left[ -\frac{\pi}{2}; 0 \right]$ функция возрастает.
• На интервале $\left[ 0; \frac{\pi}{2} \right]$ функция убывает.

Шаг 2: Вычислим значения функции в крайних точках интервала и в точке экстремума

Теперь вычислим значения функции в точках, которые могут быть важными для нахождения наименьшего и наибольшего значения:

В точке $x = -\frac{\pi}{2}$:

$$y\left( -\frac{\pi}{2} \right) = 2 \cos \left( -\frac{\pi}{2} \right) = 2 \cdot 0 = 0$$

В точке $x = 0$:

$$y(0) = 2 \cos(0) = 2 \cdot 1 = 2$$

В точке $x = \frac{\pi}{2}$:

$$y\left( \frac{\pi}{2} \right) = 2 \cos \frac{\pi}{2} = 2 \cdot 0 = 0$$

Шаг 3: Находим наименьшее и наибольшее значения функции

• На отрезке $\left[ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right]$ наибольшее значение функции достигается в точке $x = 0$, где $y_{\text{наиб}} = 2$.
• Наименьшее значение функции на этом отрезке достигается в точках $x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{\pi}{2}$, где $y_{\text{наим}} = 0$.

Ответ: $y_{\text{наим}} = 0$; $y_{\text{наиб}} = 2$.

б) На интервале $\left( 0; \frac{3\pi}{2} \right)$

Шаг 1: Поведение функции на интервале $\left( 0; \frac{3\pi}{2} \right)$

На этом интервале функция $y = 2 \cos x$ сначала убывает на интервале $\left( 0; \pi \right]$, а затем возрастает на интервале $\left[ \pi; \frac{3\pi}{2} \right)$. Это типичное поведение для функции косинуса:

• На интервале $(0; \pi]$ функция убывает, так как косинус убывает.
• На интервале $[\pi; \frac{3\pi}{2})$ функция возрастает, так как косинус возрастает.

Шаг 2: Вычислим значения функции в ключевых точках

В точке $x = 0$:

$$y(0) = 2 \cos 0 = 2 \cdot 1 = 2$$

В точке $x = \pi$:

$$y(\pi) = 2 \cos \pi = 2 \cdot (-1) = -2$$

В точке $x = \frac{3\pi}{2}$:

$$y\left( \frac{3\pi}{2} \right) = 2 \cos \frac{3\pi}{2} = 2 \cdot 0 = 0$$

Шаг 3: Находим наименьшее и наибольшее значения функции

• На интервале $(0; \pi]$ функция убывает от $y = 2$ до $y = -2$.
• На интервале $[\pi; \frac{3\pi}{2})$ функция возрастает от $y = -2$ до $y = 0$.

Таким образом, наименьшее значение функции на интервале $(0; \frac{3\pi}{2})$ достигается в точке $x = \pi$, где $y_{\text{наим}} = -2$. Наибольшее значение на интервале $(0; \frac{3\pi}{2})$ не существует, так как функция не достигает максимума на открытом интервале.

Ответ: $y_{\text{наим}} = -2$; $y_{\text{наиб}}$ — нет.

в) На полуинтервале $\left[ \frac{\pi}{3}; \frac{3\pi}{2} \right)$

Шаг 1: Поведение функции на полуинтервале $\left[ \frac{\pi}{3}; \frac{3\pi}{2} \right)$

На этом полуинтервале функция $y = 2 \cos x$ возрастает на интервале $[\pi; \frac{3\pi}{2})$ и убывает на интервале $\left[ \frac{\pi}{3}; \pi \right]$. Рассмотрим это поведение:

• На интервале $\left[ \frac{\pi}{3}; \pi \right]$ функция убывает.
• На интервале $\left[ \pi; \frac{3\pi}{2} \right)$ функция возрастает.

Шаг 2: Вычислим значения функции в ключевых точках

В точке $x = \frac{\pi}{3}$:

$$y\left( \frac{\pi}{3} \right) = 2 \cos \frac{\pi}{3} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$$

В точке $x = \pi$:

$$y(\pi) = 2 \cos \pi = 2 \cdot (-1) = -2$$

В точке $x = \frac{3\pi}{2}$:

$$y\left( \frac{3\pi}{2} \right) = 2 \cos \frac{3\pi}{2} = 2 \cdot 0 = 0$$

Шаг 3: Находим наименьшее и наибольшее значения функции

• На интервале $\left[ \frac{\pi}{3}; \pi \right]$ функция убывает от $y = 1$ до $y = -2$.
• На интервале $\left[ \pi; \frac{3\pi}{2} \right)$ функция возрастает от $y = -2$ до $y = 0$.

Таким образом, наименьшее значение функции на этом интервале достигается в точке $x = \pi$, где $y_{\text{наим}} = -2$. Наибольшее значение достигается в точке $x = \frac{\pi}{3}$, где $y_{\text{наиб}} = 1$.

Ответ: $y_{\text{наим}} = -2$; $y_{\text{наиб}} = 1$.

г) На отрезке $\left[ -\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{4} \right]$

Шаг 1: Поведение функции на отрезке $\left[ -\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{4} \right]$

Функция $y = 2 \cos x$ возрастает на интервале $\left[ -\pi; -\frac{\pi}{4} \right]$ и убывает на интервале $\left[ -\frac{3\pi}{2}; -\pi \right]$.

Шаг 2: Вычислим значения функции в ключевых точках

В точке $x = -\frac{3\pi}{2}$:

$$y\left( -\frac{3\pi}{2} \right) = 2 \cos \left( -\frac{3\pi}{2} \right) = 2 \cos \frac{3\pi}{2} = 2 \cdot 0 = 0$$

В точке $x = -\pi$:

$$y(-\pi) = 2 \cos (-\pi) = 2 \cos \pi = 2 \cdot (-1) = -2$$

В точке $x = -\frac{\pi}{4}$:

$$y\left( -\frac{\pi}{4} \right) = 2 \cos \left( -\frac{\pi}{4} \right) = 2 \cos \frac{\pi}{4} = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$$

Шаг 3: Находим наименьшее и наибольшее значения функции

• На интервале $\left[ -\frac{3\pi}{2}; -\pi \right]$ функция убывает от $y = 0$ до $y = -2$.
• На интервале $\left[ -\pi; -\frac{\pi}{4} \right]$ функция возрастает от $y = -2$ до $y = \sqrt{2}$.

Таким образом, наименьшее значение функции на этом отрезке достигается в точке $x = -\pi$, где $y_{\text{наим}} = -2$, а наибольшее значение достигается в точке $x = -\frac{\pi}{4}$, где $y_{\text{наиб}} = \sqrt{2}$.

Ответ: $y_{\text{наим}} = -2$; $y_{\text{наиб}} = \sqrt{2}$.