ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 17.6 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = -3 \sin x$:

а) На луче $[0; +\infty)$;

б) На открытом луче $\left( -\infty; \frac{\pi}{2} \right)$;

в) На луче $\left[ \frac{\pi}{4}; +\infty \right)$;

г) На открытом луче $(- \infty; 0)$

Найти наименьшее и наибольшее значения функции $y = -3 \sin x$:

а) На луче $[0; +\infty)$;

В промежуток входит полный период $T = 2\pi$ функции:

$$-1 \leq \sin x \leq 1;$$ $$-1 \leq -\sin x \leq 1;$$ $$-3 \leq -3 \sin x \leq 3;$$

Ответ: $y_{\text{наим}} = -3$; $y_{\text{наиб}} = 3$.

б) На открытом луче $\left( -\infty; \frac{\pi}{2} \right)$;

В промежуток входит полный период $T = 2\pi$ функции:

$$-1 \leq \sin x \leq 1;$$ $$-1 \leq -\sin x \leq 1;$$ $$-3 \leq -3 \sin x \leq 3;$$

Ответ: $y_{\text{наим}} = -3$; $y_{\text{наиб}} = 3$.

в) На луче $\left[ \frac{\pi}{4}; +\infty \right)$;

В промежуток входит полный период $T = 2\pi$ функции:

$$-1 \leq \sin x \leq 1;$$ $$-1 \leq -\sin x \leq 1;$$ $$-3 \leq -3 \sin x \leq 3;$$

Ответ: $y_{\text{наим}} = -3$; $y_{\text{наиб}} = 3$.

г) На открытом луче $(- \infty; 0)$;

В промежуток входит полный период $T = 2\pi$ функции:

$$-1 \leq \sin x \leq 1;$$ $$-1 \leq -\sin x \leq 1;$$ $$-3 \leq -3 \sin x \leq 3;$$

Ответ: $y_{\text{наим}} = -3$; $y_{\text{наиб}} = 3$.

Для каждой из данных областей будем вычислять наибольшее и наименьшее значение функции $y = -3 \sin x$. Для этого следует учитывать периодичность синуса и его свойство, что синус колеблется между -1 и 1. Учитывая это, можно вычислить экстремальные значения функции, исходя из свойств синуса и коэффициентов, влияющих на его амплитуду и направление.

а) На луче $[0; +\infty)$:

1) Анализ функции на отрезке $[0; +\infty)$

Функция $y = -3 \sin x$ — это синусоидальная функция с коэффициентом перед синусом, равным -3, который изменяет амплитуду и отражает график функции относительно оси абсцисс.

Сначала рассмотрим стандартную функцию $y = \sin x$. Эта функция колеблется между -1 и 1. То есть:

$$-1 \leq \sin x \leq 1.$$

Теперь учитываем множитель -3:

$$-3 \leq -3 \sin x \leq 3.$$

Таким образом, функция $y = -3 \sin x$ имеет амплитуду 3, колеблется между -3 и 3.

2) Наибольшее и наименьшее значения функции

Поскольку на отрезке $[0; +\infty)$ мы видим полный период синуса, то:

• Наибольшее значение функции $y = -3 \sin x$ будет равно $3$, так как $\sin x$ наибольшее значение принимает на точке $x = 0$, где $\sin 0 = 0$.
• Наименьшее значение функции будет равно $-3$, так как $\sin x$ минимальное значение принимает на точке $x = \frac{\pi}{2}$, где $\sin \frac{\pi}{2} = 1$.

Ответ: $y_{\text{наим}} = -3$; $y_{\text{наиб}} = 3$.

б) На открытом луче $\left( -\infty; \frac{\pi}{2} \right)$:

1) Анализ функции на интервале $\left( -\infty; \frac{\pi}{2} \right)$

На интервале $\left( -\infty; \frac{\pi}{2} \right)$ также входит полный период $T = 2\pi$ функции $y = -3 \sin x$, что позволяет использовать тот же подход. Мы знаем, что синус на этом интервале возрастает до максимума на $x = 0$ и убывает до минимума в точке $x = \frac{\pi}{2}$.

• На отрезке $\left( -\infty; \frac{\pi}{2} \right)$ функция $\sin x$ будет колебаться между $-1$ и $1$, то есть:

  $$-3 \leq -3 \sin x \leq 3.$$

2) Наибольшее и наименьшее значения функции

Таким образом, на этом интервале наибольшее и наименьшее значения будут те же, что и на предыдущем интервале, так как мы видим полный период функции:

• Наибольшее значение функции будет $3$.
• Наименьшее значение функции будет $-3$.

Ответ: $y_{\text{наим}} = -3$; $y_{\text{наиб}} = 3$.

в) На полуинтервале $\left[ \frac{\pi}{3}; +\infty \right)$:

1) Анализ функции на полуинтервале $\left[ \frac{\pi}{3}; +\infty \right)$

На полуинтервале $\left[ \frac{\pi}{3}; +\infty \right)$ также входит полный период $T = 2\pi$ функции $y = -3 \sin x$, и синус будет колебаться между -1 и 1, как и в предыдущих случаях. Однако важно отметить, что мы начинаем с $x = \frac{\pi}{3}$, где синус имеет значение $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, и функция $y = -3 \sin x$ начнется с отрицательного значения.

• Так как синус продолжает колебаться, все значения $y$ будут оставаться в пределах:

  $$-3 \leq -3 \sin x \leq 3.$$

2) Наибольшее и наименьшее значения функции

• Наибольшее значение функции $y = -3 \sin x$ на данном полуинтервале будет $3$, когда $\sin x = 0$, что происходит при $x = 0, \pi, 2\pi$, и так далее.
• Наименьшее значение будет $-3$, так как $\sin x$ принимает минимальное значение, равное 1, на точке $x = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $y_{\text{наим}} = -3$; $y_{\text{наиб}} = 3$.

г) На открытом луче $(- \infty; 0)$:

1) Анализ функции на интервале $(- \infty; 0)$

На интервале $(- \infty; 0)$ функция $y = -3 \sin x$ также входит в полный период функции $\sin x$. Мы знаем, что на этом интервале синус будет убывать от максимума до минимума, так как:

• На интервале $(- \infty; 0)$ синус принимает значения от 1 до -1.

Таким образом, для $y = -3 \sin x$ значения будут:

$$-3 \leq -3 \sin x \leq 3.$$

2) Наибольшее и наименьшее значения функции

• Наибольшее значение функции будет $3$, когда $\sin x = -1$, что происходит при $x = -\frac{\pi}{2}, -\frac{5\pi}{2}, \dots$.
• Наименьшее значение функции будет $-3$, когда $\sin x = 1$, что происходит при $x = 0, \pm 2\pi, \dots$.

Ответ: $y_{\text{наим}} = -3$; $y_{\text{наиб}} = 3$.