ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 17.7 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Постройте график функции:

а) $y = 2 \sin x — 1$;

б) $y = -\frac{1}{2} \cos x + 2$;

в) $y = -\frac{3}{2} \sin x + 3$;

г) $y=3\cos x-2$

а) $y = 2 \sin x — 1$;

Построим дугу графика $y = \sin x$, а затем:

• Совершим ее растяжение от оси $Ox$ с коэффициентом $k = 2$;
• Переместим ее на 1 единицу вниз вдоль оси ординат;

Достроим график функции:

б) $y = -\frac{1}{2} \cos x + 2$;

Построим дугу графика $y = \cos x$, а затем:

• Отразим ее относительно оси абсцисс;
• Совершим ее сжатие к оси $Ox$ с коэффициентом $k = 2$;
• Переместим ее на 2 единицы вверх вдоль оси ординат;

Достроим график функции:

в) $y = -\frac{3}{2} \sin x + 3$;

Построим дугу графика $y = \sin x$, а затем:

• Отразим ее относительно оси абсцисс;
• Совершим ее растяжение от оси $Ox$ с коэффициентом $k = 1,5$;
• Переместим ее на 3 единицы вверх вдоль оси ординат;

Достроим график функции:

г) $y = 3 \cos x — 2$;

Построим дугу графика $y = \cos x$, а затем:

• Совершим ее растяжение от оси $Ox$ с коэффициентом $k = 3$;
• Переместим ее на 2 единицы вниз вдоль оси ординат;

Достроим график функции:

а) $y = 2 \sin x — 1$

Шаг 1: Построение графика функции $y = \sin x$

Функция $y = \sin x$ — это стандартная синусоида, которая:

• Имеет период $2\pi$,
• Колеблется между $-1$ и $1$,
• Имеет амплитуду 1,
• Переходит через точку $(0,0)$.

Для построения графика функции $y = \sin x$ можно рассмотреть несколько значений $x$ и соответствующие значения $y$:

График функции $y = \sin x$ будет колебаться между значениями $-1$ и $1$, с нулевыми точками в $x = 0, \pi, 2\pi$, и максимальным значением $1$ в точке $x = \frac{\pi}{2}$ и минимальным значением $-1$ в точке $x = \frac{3\pi}{2}$.

Шаг 2: Растяжение графика от оси $Ox$ с коэффициентом $k = 2$

Чтобы растянуть график функции $y = \sin x$ по оси $y$ с коэффициентом 2, мы умножаем все значения $y$ на 2. Результатом этого преобразования будет новая функция $y = 2 \sin x$, которая будет колебаться между значениями $-2$ и $2$.

• Когда $x = 0$, $y = 0$,
• Когда $x = \frac{\pi}{2}$, $y = 2$,
• Когда $x = \pi$, $y = 0$,
• Когда $x = \frac{3\pi}{2}$, $y = -2$,
• Когда $x = 2\pi$, $y = 0$.

График будет тем же, но с амплитудой, увеличенной в два раза. Он будет колебаться между значениями $-2$ и $2$, вместо $-1$ и $1$.

Шаг 3: Перемещение графика на 1 единицу вниз вдоль оси ординат

Теперь перемещаем весь график функции $y = 2 \sin x$ на 1 единицу вниз вдоль оси ординат. Это можно сделать, вычитая 1 из всех значений функции:

• Новый график функции будет $y = 2 \sin x — 1$,
• Значения функции теперь будут колебаться между $-3$ и $1$ вместо $-2$ и $2$.

Для нескольких точек:

• Когда $x = 0$, $y = 0 — 1 = -1$,
• Когда $x = \frac{\pi}{2}$, $y = 2 — 1 = 1$,
• Когда $x = \pi$, $y = 0 — 1 = -1$,
• Когда $x = \frac{3\pi}{2}$, $y = -2 — 1 = -3$,
• Когда $x = 2\pi$, $y = 0 — 1 = -1$.

Шаг 4: Достроим график функции

б) $y = -\frac{1}{2} \cos x + 2$

Шаг 1: Построение графика функции $y = \cos x$

График функции $y = \cos x$ является стандартной косинусоидой. Он:

• Имеет период $2\pi$,
• Колеблется между значениями $-1$ и $1$,
• Имеет амплитуду 1,
• Переходит через точку $(0, 1)$, где $\cos(0) = 1$, и через $( \pi, -1 )$, где $\cos(\pi) = -1$.

Для построения графика функции $y = \cos x$ можно рассмотреть следующие точки:

Шаг 2: Отражение графика относительно оси абсцисс

Отражение графика относительно оси абсцисс означает, что мы меняем знак у всех значений функции. То есть для функции $y = \cos x$ преобразуем ее в $y = -\cos x$, и теперь график будет расположен ниже оси $x$.

• Когда $x = 0$, $y = -1$,
• Когда $x = \frac{\pi}{2}$, $y = 0$,
• Когда $x = \pi$, $y = 1$,
• Когда $x = \frac{3\pi}{2}$, $y = 0$,
• Когда $x = 2\pi$, $y = -1$.

Шаг 3: Сжатие графика к оси $Ox$ с коэффициентом $k = 2$

Сжатие графика функции по оси $y$ с коэффициентом $k = 2$ означает, что значения $y$ будут уменьшены в два раза. Таким образом, функция станет $y = -\frac{1}{2} \cos x$. Рассмотрим новые значения функции:

• Когда $x = 0$, $y = -\frac{1}{2}$,
• Когда $x = \frac{\pi}{2}$, $y = 0$,
• Когда $x = \pi$, $y = \frac{1}{2}$,
• Когда $x = \frac{3\pi}{2}$, $y = 0$,
• Когда $x = 2\pi$, $y = -\frac{1}{2}$.

График будет сжат, и амплитуда функции уменьшится до $\frac{1}{2}$.

Шаг 4: Перемещение графика на 2 единицы вверх

Теперь сдвигаем график на 2 единицы вверх, добавив 2 к каждому значению функции. То есть новая функция будет $y = -\frac{1}{2} \cos x + 2$. Рассмотрим значения функции:

• Когда $x = 0$, $y = -\frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2}$,
• Когда $x = \frac{\pi}{2}$, $y = 0 + 2 = 2$,
• Когда $x = \pi$, $y = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$,
• Когда $x = \frac{3\pi}{2}$, $y = 0 + 2 = 2$,
• Когда $x = 2\pi$, $y = -\frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2}$.

Шаг 5: Достроим график функции

в) $y = -\frac{3}{2} \sin x + 3$

Шаг 1: Построение графика функции $y = \sin x$

График функции $y = \sin x$ уже описан в шаге 1 для функции $y = 2 \sin x$. Он будет колебаться между значениями $-1$ и $1$ с амплитудой 1.

Шаг 2: Отражение графика относительно оси абсцисс

Отражение функции $y = \sin x$ относительно оси абсцисс дает функцию $y = -\sin x$, и график будет располагаться ниже оси $x$.

Шаг 3: Растяжение графика по оси $y$ с коэффициентом $k = 1,5$

Растяжение графика по оси $y$ с коэффициентом 1,5 означает, что амплитуда функции увеличится в 1,5 раза. Таким образом, новая функция будет $y = -1,5 \sin x$, и значения будут колебаться между $-1,5$ и $1,5$.

Шаг 4: Перемещение графика на 3 единицы вверх

Теперь сдвигаем график на 3 единицы вверх, добавив 3 ко всем значениям функции. Получаем новую функцию $y = -\frac{3}{2} \sin x + 3$. Рассмотрим новые значения функции:

• Когда $x = 0$, $y = -\frac{3}{2} \times 0 + 3 = 3$,
• Когда $x = \frac{\pi}{2}$, $y = -\frac{3}{2} \times 1 + 3 = \frac{3}{2}$,
• Когда $x = \pi$, $y = -\frac{3}{2} \times 0 + 3 = 3$,
• Когда $x = \frac{3\pi}{2}$, $y = -\frac{3}{2} \times (-1) + 3 = \frac{9}{2}$,
• Когда $x = 2\pi$, $y = -\frac{3}{2} \times 0 + 3 = 3$.

Шаг 5: Достроим график функции

г) $y = 3 \cos x — 2$

Шаг 1: Построение графика функции $y = \cos x$

График функции $y = \cos x$ был уже рассмотрен. Это стандартная косинусоида, колеблющаяся между значениями $-1$ и $1$ с амплитудой 1.

Шаг 2: Растяжение графика по оси $y$ с коэффициентом $k = 3$

Растяжение функции по оси $y$ с коэффициентом 3 означает, что амплитуда функции увеличится в 3 раза. Таким образом, новая функция будет $y = 3 \cos x$, и ее значения будут колебаться между $-3$ и $3$.

Шаг 3: Перемещение графика на 2 единицы вниз

Теперь сдвигаем график на 2 единицы вниз, вычитая 2 из всех значений функции. Получаем новую функцию $y = 3 \cos x — 2$. Рассмотрим новые значения:

• Когда $x = 0$, $y = 3 \times 1 — 2 = 1$,
• Когда $x = \frac{\pi}{2}$, $y = 3 \times 0 — 2 = -2$,
• Когда $x = \pi$, $y = 3 \times (-1) — 2 = -5$,
• Когда $x = \frac{3\pi}{2}$, $y = 3 \times 0 — 2 = -2$,
• Когда $x = 2\pi$, $y = 3 \times 1 — 2 = 1$.

Шаг 4: Достроим график функции