ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 17.8 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Постройте график функции:

а) $y = 2 \sin \left( x — \frac{\pi}{3} \right)$;

б) $y = -3 \cos \left( x + \frac{\pi}{6} \right)$;

в) $y = -\sin \left( x + \frac{2\pi}{3} \right)$;

г) $y = 1,5 \cos \left( x — \frac{2\pi}{3} \right)$

а) $y = 2 \sin \left( x — \frac{\pi}{3} \right)$;

Построим дугу графика $y = \sin x$, а затем:

• Переместим ее на $\frac{\pi}{3}$ единиц вправо вдоль оси абсцисс;
• Совершим ее растяжение от оси $Ox$ с коэффициентом $k = 2$;

Достроим график функции:

б) $y = -3 \cos \left( x + \frac{\pi}{6} \right)$;

Построим дугу графика $y = \cos x$, а затем:

• Переместим ее на $\frac{\pi}{6}$ единиц влево вдоль оси абсцисс;
• Отразим ее относительно оси абсцисс;
• Совершим ее растяжение от оси $Ox$ с коэффициентом $k = 3$;

Достроим график функции:

в) $y = -\sin \left( x + \frac{2\pi}{3} \right)$;

Построим дугу графика $y = \sin x$, а затем:

• Переместим ее на $\frac{2\pi}{3}$ единиц влево вдоль оси абсцисс;
• Отразим ее относительно оси абсцисс;

Достроим график функции:

г) $y = 1,5 \cos \left( x — \frac{2\pi}{3} \right)$;

Построим дугу графика $y = \cos x$, а затем:

• Переместим ее на $\frac{2\pi}{3}$ единиц вправо вдоль оси абсцисс;
• Совершим ее растяжение от оси $Ox$ с коэффициентом $k = 1,5$;

Достроим график функции:

а) $y = 2 \sin \left( x — \frac{\pi}{3} \right)$

Шаг 1: Построение графика функции $y = \sin x$

График функции $y = \sin x$ — это стандартная синусоида. Ее основные характеристики:

• Период $T = 2\pi$,
• Амплитуда $A = 1$,
• Колеблется между значениями $-1$ и $1$,
• Переходит через точку $(0, 0)$ и достигает максимума в точке $x = \frac{\pi}{2}$ и минимума в точке $x = \frac{3\pi}{2}$.

График синусоиды выглядит как волна, которая колеблется между $-1$ и $1$, с нулевыми точками в $x = 0, \pi, 2\pi$, максимальным значением $1$ в $x = \frac{\pi}{2}$ и минимальным значением $-1$ в $x = \frac{3\pi}{2}$.

Шаг 2: Перемещение графика на $\frac{\pi}{3}$ единиц вправо вдоль оси абсцисс

Чтобы переместить график функции $y = \sin x$ на $\frac{\pi}{3}$ единиц вправо, мы заменяем $x$ на $x — \frac{\pi}{3}$. Это означает, что график функции сдвигается вправо на $\frac{\pi}{3}$ единицы. В этой новой функции $y = \sin \left( x — \frac{\pi}{3} \right)$ график будет начинаться не с точки $(0, 0)$, а с точки $\left( \frac{\pi}{3}, 0 \right)$.

• Для $x = \frac{\pi}{3}$, $y = 0$,
• Для $x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{6}$, $y = 1$,
• Для $x = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3}$, $y = 0$,
• Для $x = \frac{\pi}{3} + \frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}$, $y = -1$.

Шаг 3: Растяжение графика по оси $y$ с коэффициентом $k = 2$

Теперь растягиваем график функции $y = \sin \left( x — \frac{\pi}{3} \right)$ по оси $y$ с коэффициентом 2. Это означает, что все значения $y$ умножаются на 2. Новая функция будет $y = 2 \sin \left( x — \frac{\pi}{3} \right)$, и значения $y$ будут колебаться между $-2$ и $2$.

• Когда $x = \frac{\pi}{3}$, $y = 2 \times 0 = 0$,
• Когда $x = \frac{5\pi}{6}$, $y = 2 \times 1 = 2$,
• Когда $x = \frac{4\pi}{3}$, $y = 2 \times 0 = 0$,
• Когда $x = \frac{3\pi}{2}$, $y = 2 \times (-1) = -2$.

Шаг 4: Достроим график функции

б) $y = -3 \cos \left( x + \frac{\pi}{6} \right)$

Шаг 1: Построение графика функции $y = \cos x$

График функции $y = \cos x$ — это стандартная косинусоида, которая:

• Имеет период $T = 2\pi$,
• Амплитуду $A = 1$,
• Колеблется между значениями $-1$ и $1$,
• Переходит через точку $(0, 1)$, минимальное значение достигает в точке $x = \pi$ и равно $-1$.

Для построения графика функции $y = \cos x$ можно рассмотреть следующие точки:

Шаг 2: Перемещение графика на $\frac{\pi}{6}$ единиц влево вдоль оси абсцисс

Перемещаем график функции $y = \cos x$ на $\frac{\pi}{6}$ единиц влево. Для этого заменим $x$ на $x + \frac{\pi}{6}$. Это означает, что весь график будет сдвинут влево на $\frac{\pi}{6}$ единиц. Теперь функции будут начинаться не с точки $(0, 1)$, а с точки $\left( -\frac{\pi}{6}, 1 \right)$.

• Когда $x = -\frac{\pi}{6}$, $y = 1$,
• Когда $x = \frac{\pi}{3}$, $y = 0$,
• Когда $x = \frac{\pi}{2}$, $y = -1$,
• Когда $x = \frac{5\pi}{6}$, $y = 0$,
• Когда $x = \pi$, $y = 1$.

Шаг 3: Отражение графика относительно оси абсцисс

Теперь мы отразим график относительно оси абсцисс. Это означает, что мы умножаем все значения функции на -1. Таким образом, $y = -\cos x$ станет $y = -3 \cos \left( x + \frac{\pi}{6} \right)$, и график будет расположен ниже оси $x$.

• Когда $x = -\frac{\pi}{6}$, $y = -1$,
• Когда $x = \frac{\pi}{3}$, $y = 0$,
• Когда $x = \frac{\pi}{2}$, $y = 1$,
• Когда $x = \frac{5\pi}{6}$, $y = 0$,
• Когда $x = \pi$, $y = -1$.

Шаг 4: Растяжение графика от оси $Ox$ с коэффициентом $k = 3$

Теперь мы растягиваем график по оси $y$ с коэффициентом 3. Это означает, что каждый $y$-координат будет умножен на 3. Новая функция $y = -3 \cos \left( x + \frac{\pi}{6} \right)$ будет колебаться между $-3$ и $3$.

• Когда $x = -\frac{\pi}{6}$, $y = -3$,
• Когда $x = \frac{\pi}{3}$, $y = 0$,
• Когда $x = \frac{\pi}{2}$, $y = 3$,
• Когда $x = \frac{5\pi}{6}$, $y = 0$,
• Когда $x = \pi$, $y = -3$.

Шаг 5: Достроим график функции

в) $y = -\sin \left( x + \frac{2\pi}{3} \right)$

Шаг 1: Построение графика функции $y = \sin x$

График функции $y = \sin x$ уже был рассмотрен. Он колеблется между значениями $-1$ и $1$, с нулевыми точками в $x = 0, \pi, 2\pi$, максимальным значением $1$ в $x = \frac{\pi}{2}$ и минимальным значением $-1$ в $x = \frac{3\pi}{2}$.

Шаг 2: Перемещение графика на $\frac{2\pi}{3}$ единиц влево

Чтобы переместить график функции $y = \sin x$ на $\frac{2\pi}{3}$ единиц влево, заменим $x$ на $x + \frac{2\pi}{3}$. Это сдвиг графика влево на $\frac{2\pi}{3}$. График начнется в точке $\left( -\frac{2\pi}{3}, 0 \right)$.

Шаг 3: Отражение графика относительно оси абсцисс

Теперь мы отражаем график функции относительно оси абсцисс, умножая все значения $y$ на -1. Таким образом, функция станет $y = -\sin \left( x + \frac{2\pi}{3} \right)$, и график будет располагаться ниже оси $x$.

Шаг 4: Достроим график функции

г) $y = 1,5 \cos \left( x — \frac{2\pi}{3} \right)$

Шаг 1: Построение графика функции $y = \cos x$

График функции $y = \cos x$ был уже рассмотрен. Он колеблется между значениями $-1$ и $1$, с периодом $2\pi$, максимальным значением $1$ в точке $x = 0$ и минимальным значением $-1$ в точке $x = \pi$.

Шаг 2: Перемещение графика на $\frac{2\pi}{3}$ единиц вправо

Теперь сдвигаем график функции $y = \cos x$ на $\frac{2\pi}{3}$ единиц вправо. Для этого заменим $x$ на $x — \frac{2\pi}{3}$. График функции начнется в точке $\left( \frac{2\pi}{3}, 1 \right)$.

Шаг 3: Растяжение графика по оси $y$ с коэффициентом $k = 1,5$

Растягиваем график функции по оси $y$ с коэффициентом $1,5$. Это означает, что каждый $y$-координат будет умножен на $1,5$. Результатом этого будет новая функция $y = 1,5 \cos \left( x — \frac{2\pi}{3} \right)$.

Шаг 4: Достроим график функции