ГДЗ Мордкович 10 Класс Профильный Уровень по Алгебре Задачник 📕 — Все Части

Алгебра Профильный Уровень

10 класс задачник профильный уровень Мордкович

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

А.Г. Мордкович, П. В. Семенов.

Год

2015-2020.

Издательство

Мнемозина.

Описание

Задачник «Алгебра. 10 класс» под авторством А.Г. Мордковича — это один из самых популярных учебных материалов для старшеклассников, изучающих алгебру на профильном уровне. Книга давно зарекомендовала себя как надежный помощник в подготовке к экзаменам и олимпиадам, а также в углубленном изучении математики.

ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 17 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Задача

Найдите наибольший общий делитель (НОД) чисел:

а) 154 и 210; в) 105 и 165;

б) 240, 360 и 900; г) 144, 216 и 324

Краткий ответ:

Найти наибольший общий делитель чисел:

а) 154 и 210;

Разложим числа на простые множители:

$\begin{array}{c|c} 154 & 2 \\ 77 & 7 \\ 11 & 11 \\ 1 & 1 \\ \end{array} \quad \begin{array}{c|c} 210 & 2 \\ 105 & 3 \\ 35 & 5 \\ 7 & 7 \\ 1 & 1 \\ \end{array}$

Перемножим общие множители:

$\text{НОД} = 2 \cdot 7 = 14;$

б) 154, 360 и 900;

Разложим числа на простые множители:

$\begin{array}{c|c} 154 & 2 \\ 77 & 7 \\ 11 & 11 \\ 1 & 1 \\ \end{array} \quad \begin{array}{c|c} 360 & 2 \\ 180 & 2 \\ 90 & 2 \\ 45 & 3 \\ 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ 1 & 1 \\ \end{array} \quad \begin{array}{c|c} 900 & 2 \\ 450 & 2 \\ 225 & 3 \\ 75 & 3 \\ 25 & 5 \\ 5 & 5 \\ 1 & 1 \\ \end{array}$

Перемножим общие множители:

$\text{НОД} = 2;$

в) 105 и 165;

Разложим числа на простые множители:

$\begin{array}{c|c} 105 & 3 \\ 35 & 5 \\ 7 & 7 \\ 1 & 1 \\ \end{array} \quad \begin{array}{c|c} 165 & 3 \\ 55 & 5 \\ 11 & 11 \\ 1 & 1 \\ \end{array}$

Перемножим общие множители:

$\text{НОД} = 3 \cdot 5 = 15;$

г) 144, 216 и 324;

Разложим числа на простые множители:

$\begin{array}{c|c} 144 & 2 \\ 72 & 2 \\ 36 & 2 \\ 18 & 2 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 & 1 \\ \end{array} \quad \begin{array}{c|c} 216 & 2 \\ 108 & 2 \\ 54 & 2 \\ 27 & 3 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 & 1 \\ \end{array} \quad \begin{array}{c|c} 324 & 2 \\ 162 & 2 \\ 81 & 3 \\ 27 & 3 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 & 1 \\ \end{array}$

Перемножим общие множители:

$\text{НОД} = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 4 \cdot 9 = 36;$

Подробный ответ:

Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) чисел, используем метод разложения чисел на простые множители. Этот метод заключается в том, чтобы разложить каждое число на простые множители, а затем выбрать общие множители и перемножить их. Рассмотрим подробное решение для каждого из примеров.

а) 154 и 210

Шаг 1: Разложим 154 и 210 на простые множители

Разложение числа 154:

Начнем делить число 154 на наименьшие простые числа:
$154 \div 2 = 77$
Число 77 делится на 7:
$77 \div 7 = 11$
Число 11 является простым.

Таким образом, разложение числа 154 на простые множители:

$154 = 2 \times 7 \times 11$

Разложение числа 210:

Начнем делить число 210 на наименьшие простые числа:
$210 \div 2 = 105$
Число 105 делится на 3:
$105 \div 3 = 35$
Число 35 делится на 5:
$35 \div 5 = 7$
Число 7 является простым.

Таким образом, разложение числа 210 на простые множители:

$210 = 2 \times 3 \times 5 \times 7$

Шаг 2: Находим общие множители

Теперь находим общие множители чисел 154 и 210. Общие множители — это те, которые присутствуют в разложении обоих чисел. В данном случае общими множителями являются 2 и 7.

Шаг 3: Перемножаем общие множители

Перемножаем общие множители:

$\text{НОД}(154, 210) = 2 \times 7 = 14$

Ответ для пункта (а):

$\text{НОД}(154, 210) = 14$

б) 154, 360 и 900

Шаг 1: Разложим 154, 360 и 900 на простые множители

Разложение числа 154:
Как мы уже выяснили ранее:

$154 = 2 \times 7 \times 11$

Разложение числа 360:

Начнем делить число 360 на простые числа:

$360 \div 2 = 180$

$360 \div 2 = 180$ $180 \div 2 = 90$

$180 \div 2 = 90$ $90 \div 2 = 45$

$90 \div 2 = 45$ $45 \div 3 = 15$

$45 \div 3 = 15$ $15 \div 3 = 5$

$15 \div 3 = 5$ $5 \div 5 = 1$

Разложение числа 360 на простые множители:

$360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$

Разложение числа 900:

Начнем делить число 900 на простые числа:

$900 \div 2 = 450$

$900 \div 2 = 450$ $450 \div 2 = 225$

$450 \div 2 = 225$ $225 \div 3 = 75$

$225 \div 3 = 75$ $75 \div 3 = 25$

$75 \div 3 = 25$ $25 \div 5 = 5$

$25 \div 5 = 5$ $5 \div 5 = 1$

Разложение числа 900 на простые множители:

$900 = 2^2 \times 3^2 \times 5^2$

Шаг 2: Находим общие множители

Теперь находим общие множители для чисел 154, 360 и 900. Для этого выбираем наименьшую степень для каждого общего простого множителя.

Общий множитель 2: минимальная степень — $2^1$ ,
Общий множитель 3: минимальная степень — $3^0$ (отсутствует в разложении 154),
Общий множитель 5: минимальная степень — $5^0$ (отсутствует в разложении 154),
Общий множитель 7: отсутствует во всех числах кроме 154.

Таким образом, общим простым множителем является только $2$ .

Шаг 3: Перемножаем общие множители

Перемножаем общие множители:

$\text{НОД}(154, 360, 900) = 2$

Ответ для пункта (б):

$\text{НОД}(154, 360, 900) = 2$

в) 105 и 165

Шаг 1: Разложим 105 и 165 на простые множители

Разложение числа 105:

Начнем делить число 105 на простые числа:

$105 \div 3 = 35$

$105 \div 3 = 35$ $35 \div 5 = 7$

Число 7 является простым.

Разложение числа 105 на простые множители:

$105 = 3 \times 5 \times 7$

Разложение числа 165:

Начнем делить число 165 на простые числа:

$165 \div 3 = 55$

$165 \div 3 = 55$ $55 \div 5 = 11$

Число 11 является простым.

Разложение числа 165 на простые множители:

$165 = 3 \times 5 \times 11$

Шаг 2: Находим общие множители

Общие множители для чисел 105 и 165 — это $3$ и $5$ .

Шаг 3: Перемножаем общие множители

Перемножаем общие множители:

$\text{НОД}(105, 165) = 3 \times 5 = 15$

Ответ для пункта (в):

$\text{НОД}(105, 165) = 15$

г) 144, 216 и 324

Шаг 1: Разложим 144, 216 и 324 на простые множители

Разложение числа 144:

Начнем делить число 144 на простые числа:

$144 \div 2 = 72$

$144 \div 2 = 72$ $72 \div 2 = 36$

$72 \div 2 = 36$ $36 \div 2 = 18$

$36 \div 2 = 18$ $18 \div 2 = 9$

$18 \div 2 = 9$ $9 \div 3 = 3$

$9 \div 3 = 3$ $3 \div 3 = 1$

Разложение числа 144 на простые множители:

$144 = 2^4 \times 3^2$

Разложение числа 216:

Начнем делить число 216 на простые числа:

$216 \div 2 = 108$

$216 \div 2 = 108$ $108 \div 2 = 54$

$108 \div 2 = 54$ $54 \div 2 = 27$

$54 \div 2 = 27$ $27 \div 3 = 9$

$27 \div 3 = 9$ $9 \div 3 = 3$

$9 \div 3 = 3$ $3 \div 3 = 1$

Разложение числа 216 на простые множители:

$216 = 2^3 \times 3^3$

Разложение числа 324:

Начнем делить число 324 на простые числа:

$324 \div 2 = 162$

$324 \div 2 = 162$ $162 \div 2 = 81$

$162 \div 2 = 81$ $81 \div 3 = 27$

$81 \div 3 = 27$ $27 \div 3 = 9$

$27 \div 3 = 9$ $9 \div 3 = 3$

$9 \div 3 = 3$ $3 \div 3 = 1$

Разложение числа 324 на простые множители:

$324 = 2^2 \times 3^4$

Шаг 2: Находим общие множители

Общие множители для чисел 144, 216 и 324 — это $2^2$ и $3^2$ .

Шаг 3: Перемножаем общие множители

Перемножаем общие множители:

$\text{НОД}(144, 216, 324) = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$

Ответ для пункта (г):

$\text{НОД}(144, 216, 324) = 36$

Итоговые ответы:

а) $\text{НОД}(154, 210) = 14$
б) $\text{НОД}(154, 360, 900) = 2$
в) $\text{НОД}(105, 165) = 15$
г) $\text{НОД}(144, 216, 324) = 36$

Оцени решение