ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 18.1 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Постройте график функции:

а) $y = \sqrt{2x}$;

б) $y = \sqrt{\frac{x}{2}}$;

в) $y = (2x)^4$;

г) $y = \left| \frac{x}{3} \right|$

а) $y = \sqrt{2x}$;

Построим график функции $y = \sqrt{x}$:

Совершим сжатие графика к оси $Oy$ с коэффициентом $k = 2$.

б) $y = \sqrt{\frac{x}{2}}$;

Построим график функции $y = \sqrt{x}$:

Совершим растяжение графика от оси $Oy$ с коэффициентом $k = 2$.

в) $y = (2x)^4$;

Построим график функции $y = x^4$:

Совершим сжатие графика к оси $Oy$ с коэффициентом $k = 2$.

г) $y = \left| \frac{x}{3} \right|$;

Построим график функции $y = |x|$:

Совершим растяжение графика от оси $Oy$ с коэффициентом $k = 3$.

а) $y = \sqrt{2x}$

1) Построение графика функции $y = \sqrt{x}$

Для начала рассмотрим график функции $y = \sqrt{x}$, которая является стандартной корневой функцией.

• Для $x = 0$: $y = \sqrt{0} = 0$.
• Для $x = 1$: $y = \sqrt{1} = 1$.
• Для $x = 4$: $y = \sqrt{4} = 2$.
• Для $x = 9$: $y = \sqrt{9} = 3$.
• Для $x = 16$: $y = \sqrt{16} = 4$.

Получаем таблицу значений:

График этой функции будет выглядеть как плавно возрастающая кривая, начинающаяся от начала координат и стремящаяся к бесконечности по мере увеличения $x$. График функции $y = \sqrt{x}$ всегда лежит в первой и второй четверти, так как для отрицательных значений $x$ она не определена.

2) Совершим сжатие графика к оси $Oy$ с коэффициентом $k = 2$

Функция $y = \sqrt{2x}$ отличается от $y = \sqrt{x}$ тем, что в её аргументе присутствует множитель 2. Это вызовет сжатие графика вдоль оси $Oy$, что эквивалентно растяжению вдоль оси $Ox$ на коэффициент $k = 2$.

Чтобы это понять, нужно провести замену: при $y = \sqrt{x}$ для любого $x$ мы получаем $y = \sqrt{2x}$. Это означает, что для того, чтобы получить то же самое значение $y$, нужно $x$ в два раза уменьшить, то есть $x$ растягивается в два раза в сравнении с графиком функции $y = \sqrt{x}$.

Таким образом, график функции будет «сжат» вдоль оси $Oy$, и его значения для всех $x$ будут в два раза меньше, чем значения на графике $y = \sqrt{x}$.

б) $y = \sqrt{\frac{x}{2}}$

1) Построение графика функции $y = \sqrt{x}$

Сначала построим график функции $y = \sqrt{x}$, как и в предыдущем примере.

• Для $x = 0$: $y = \sqrt{0} = 0$.
• Для $x = 1$: $y = \sqrt{1} = 1$.
• Для $x = 4$: $y = \sqrt{4} = 2$.
• Для $x = 9$: $y = \sqrt{9} = 3$.

Таблица значений:

График функции $y = \sqrt{x}$ будет тем же, что и в примере выше.

2) Совершим растяжение графика от оси $Oy$ с коэффициентом $k = 2$

Теперь рассмотрим функцию $y = \sqrt{\frac{x}{2}}$. Эта функция отличается от $y = \sqrt{x}$ тем, что в аргументе синуса присутствует деление на 2. Это означает, что график будет растянут вдоль оси $Oy$.

Чтобы понять это, вспомним, что если у нас есть функция вида $y = \sqrt{a x}$, где $a > 1$, то график будет сжаться вдоль оси $Oy$, а если $a < 1$, то график будет растягиваться.

В нашем случае $a = \frac{1}{2}$, то есть график будет растягиваться по оси $Oy$ на коэффициент $k = 2$, так как вместо $x$ на графике будет иметься $\frac{x}{2}$, что увеличивает значения функции для каждого $x$.

в) $y = (2x)^4$

1) Построение графика функции $y = x^4$

Рассмотрим стандартную функцию $y = x^4$. Значения для $x$ будут следующие:

• Для $x = -2$: $y = (-2)^4 = 16$.
• Для $x = -1$: $y = (-1)^4 = 1$.
• Для $x = 0$: $y = 0^4 = 0$.
• Для $x = 1$: $y = 1^4 = 1$.
• Для $x = 2$: $y = 2^4 = 16$.

Таблица значений:

График функции $y = x^4$ будет симметричен относительно оси $y$ (поскольку функция четная), и будет иметь «вытянутую» форму, стремящуюся к бесконечности как при $x \to \infty$, так и при $x \to -\infty$.

2) Совершим сжатие графика к оси $Oy$ с коэффициентом $k = 2$

Теперь рассматриваем функцию $y = (2x)^4$. Заметим, что для каждого $x$, функция $(2x)^4 = 16x^4$, что означает увеличение всех значений функции в 16 раз.

Однако, по сравнению с $y = x^4$, происходит сжатие вдоль оси $Oy$, так как множитель $2$ в выражении внутри скобок увеличивает амплитуду функции.

Таким образом, график функции $y = (2x)^4$ будет сжат вдоль оси $Oy$ с коэффициентом $k = 2$, то есть для каждого значения $x$, функция будет более «плоской», чем $y = x^4$.

г) $y = \left| \frac{x}{3} \right|$

1) Построение графика функции $y = |x|$

Рассмотрим стандартную функцию $y = |x|$, которая представляет собой «V»-образную фигуру:

• Для $x = -1$: $y = 1$.
• Для $x = 0$: $y = 0$.
• Для $x = 1$: $y = 1$.

Таблица значений:

График функции будет «V»-образной линией, с вершиной в точке $(0, 0)$, и с угловым коэффициентом, равным 1.

2) Совершим растяжение графика от оси $Oy$ с коэффициентом $k = 3$

Теперь рассматриваем функцию $y = \left| \frac{x}{3} \right|$. Это выражение является растяжением функции $y = |x|$ вдоль оси $Oy$, так как мы делим $x$ на 3. Это растягивает график вдоль оси $y$.

Для каждой точки $x$, значение функции будет в 3 раза больше, чем на графике $y = |x|$, так как теперь в каждой точке будет большее значение функции.

Таким образом, график функции $y = \left| \frac{x}{3} \right|$ будет растянут вдоль оси $Oy$ с коэффициентом $k = 3$.