ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 18.11 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Исследуйте функцию $y = 2 \sin 3x$ на монотонность на заданном промежутке:

а) $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$;

б) $(-1; 0)$;

в) $\left(\frac{2\pi}{3}; \frac{5\pi}{3}\right)$;

г) $(3;4)$

Исследовать функцию $y = 2 \sin 3x$ на монотонность на заданном промежутке:

а) $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$;

Рассмотрим функцию $y = \sin x$:

• Возрастает на $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$ и убывает на $\left[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$;

Значит данная функция:

• Возрастает на $\left[0; \frac{\pi}{6}\right]$ и убывает на $\left[\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2}\right]$;

б) $(-1; 0)$;

Рассмотрим функцию $y = \sin x$:

• Возрастает на $\left[-\frac{\pi}{2}; 0\right)$ и убывает на $\left(-3; -\frac{\pi}{2}\right]$;

Значит данная функция:

• Возрастает на $\left[-\frac{\pi}{6}; 0\right)$ и убывает на $\left(-1; -\frac{\pi}{6}\right]$;

в) $\left(\frac{2\pi}{3}; \frac{5\pi}{3}\right)$;

Рассмотрим функцию $y = \sin x$:

• Возрастает на $\left(2\pi; \frac{5\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{7\pi}{2}; \frac{9\pi}{2}\right]$ и убывает на $\left[\frac{5\pi}{2}; \frac{7\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{9\pi}{2}; 5\pi\right)$;

Значит данная функция:

• Возрастает на $\left(\frac{2\pi}{3}; \frac{5\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{7\pi}{6}; \frac{3\pi}{2}\right]$ и убывает на $\left[\frac{5\pi}{6}; \frac{7\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{3}\right)$;

г) $(3; 4)$;

Рассмотрим функцию $y = \sin x$:

• Возрастает на $\left[\frac{7\pi}{2}; 12\right)$ и убывает на $\left(9; \frac{7\pi}{2}\right]$;

Значит данная функция:

• Возрастает на $\left[\frac{7\pi}{6}; 4\right)$ и убывает на $\left(3; \frac{7\pi}{6}\right]$

Исследование функции $y = 2 \sin(3x)$ на монотонность на заданных промежутках

Для исследования монотонности функции нам нужно:

1. Найти производную функции, так как монотонность функции зависит от знака её производной.
2. Определить, на каких промежутках эта производная положительна (функция возрастает) и отрицательна (функция убывает).

Шаг 1: Нахождение производной функции

Функция, которую нам предстоит исследовать:

$$y = 2 \sin(3x)$$

Найдем её производную. Для этого воспользуемся стандартной формулой дифференцирования для функции синуса, а также применим цепное правило.

$$\frac{d}{dx} [2 \sin(3x)] = 2 \cdot \cos(3x) \cdot \frac{d}{dx} [3x] = 6 \cos(3x)$$

Итак, производная функции:

$$y’ = 6 \cos(3x)$$

Шаг 2: Определение знака производной

Теперь, чтобы понять, где функция возрастает или убывает, нужно рассмотреть знак производной. Мы знаем, что:

• Если $y’ > 0$, то функция возрастает.
• Если $y’ < 0$, то функция убывает.

Поскольку производная функции $y’ = 6 \cos(3x)$, то она будет менять знак в зависимости от значения косинуса. Чтобы понять, где именно функция возрастает или убывает, нужно решить неравенства для $y’$.

$$y’ = 6 \cos(3x) > 0 \quad \text{(функция возрастает)}$$ $$y’ = 6 \cos(3x) < 0 \quad \text{(функция убывает)}$$

Для этого необходимо определить, где $\cos(3x)$ положителен, а где отрицателен.

Функция $\cos(3x)$ меняет знак в точках, где её аргумент $3x$ кратен $\pi$. То есть:

$$3x = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Тогда $x = \frac{n\pi}{3}$ — это точки, в которых $\cos(3x) = 0$. Между этими точками косинус меняет знак.

Таким образом, исследуем функцию на каждом из промежутков между этими точками.

а) Промежуток $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$

Мы ищем, как ведет себя производная $y’ = 6 \cos(3x)$ на промежутке $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$.

Для начала определим, на каком интервале $\cos(3x)$ положителен.

$\cos(3x) = 0$ при $3x = \frac{\pi}{2}$, следовательно, $x = \frac{\pi}{6}$.

Таким образом, на промежутке $\left[0; \frac{\pi}{6}\right]$ $\cos(3x) > 0$, а на $\left[\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2}\right]$ $\cos(3x) < 0$.

Это означает, что:

• Функция возрастает на $\left[0; \frac{\pi}{6}\right]$,
• Функция убывает на $\left[\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2}\right]$.

б) Промежуток $(-1; 0)$

Теперь исследуем функцию на промежутке $(-1; 0)$.

Найдем, на каком интервале $\cos(3x)$ положителен.

Для $x = -\frac{1}{3}$ мы получаем $3x = -\pi$, и $\cos(-\pi) = -1$, следовательно, $\cos(3x)$ меняет знак в этих точках.

Таким образом, на промежутке $(-\frac{\pi}{6}; 0)$, $\cos(3x) > 0$, а на $(-1; -\frac{\pi}{6})$, $\cos(3x) < 0$.

Это означает, что:

• Функция возрастает на $\left[-\frac{\pi}{6}; 0\right)$,
• Функция убывает на $\left(-1; -\frac{\pi}{6}\right]$.

в) Промежуток $\left(\frac{2\pi}{3}; \frac{5\pi}{3}\right)$

Рассмотрим промежуток $\left(\frac{2\pi}{3}; \frac{5\pi}{3}\right)$.

Найдем, на каком интервале $\cos(3x)$ положителен.

Для $3x = 2\pi$, получаем $x = \frac{2\pi}{3}$, а для $3x = 5\pi$, получаем $x = \frac{5\pi}{3}$. Таким образом, мы имеем промежуток $\left(\frac{2\pi}{3}; \frac{5\pi}{3}\right)$ с точками изменения знака.

На этом промежутке $\cos(3x)$ меняет знак и возрастает на интервалах $\left(\frac{2\pi}{3}; \frac{5\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{7\pi}{6}; \frac{3\pi}{2}\right]$, а убывает на $\left[\frac{5\pi}{6}; \frac{7\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{3}\right)$.

Это означает:

• Функция возрастает на $\left(\frac{2\pi}{3}; \frac{5\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{7\pi}{6}; \frac{3\pi}{2}\right]$,
• Функция убывает на $\left[\frac{5\pi}{6}; \frac{7\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{3}\right)$.

г) Промежуток $(3; 4)$

Рассмотрим промежуток $(3; 4)$.

Определим, на каком интервале $\cos(3x)$ положителен.

Из аналогичного анализа видно, что $\cos(3x)$ меняет знак в точках $x = 3$ и $x = 4$, а функция возрастает на $\left[\frac{7\pi}{6}; 4\right)$ и убывает на $\left(3; \frac{7\pi}{6}\right]$.

Это означает:

• Функция возрастает на $\left[\frac{7\pi}{6}; 4\right)$,
• Функция убывает на $\left(3; \frac{7\pi}{6}\right]$.