ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 18.12 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Исследуйте функцию $y = -2 \cos \frac{x}{2}$ на монотонность на заданном промежутке:

а) $\left[ 0; \frac{5\pi}{2} \right]$;

б) $(-3; 2)$;

в) $\left( -\frac{2\pi}{3}; \frac{5\pi}{3} \right)$;

г) $(3; 9)$

Исследовать функцию $y = -2 \cos \frac{x}{2}$ на монотонность на заданном промежутке:

а) $\left[ 0; \frac{5\pi}{2} \right]$;

Рассмотрим функцию $y = \cos x$:

• Возрастает на $\left[ \pi; \frac{5\pi}{4} \right]$ и убывает на $[0; \pi]$;

Значит функция $y = -\cos x$:

• Возрастает на $[0; \pi]$ и убывает на $\left[ \pi; \frac{5\pi}{4} \right]$;

Тогда данная функция:

• Возрастает на $[0; 2\pi]$ и убывает на $\left[ 2\pi; \frac{5\pi}{2} \right]$;

б) $(-3; 2)$;

Рассмотрим функцию $y = \cos x$:

• Возрастает на $(-1,5; 0]$ и убывает на $[0; 1)$;

Значит функция $y = -\cos x$:

• Возрастает на $[0; 1)$ и убывает на $(-1,5; 0]$;

Тогда данная функция:

• Возрастает на $[0; 2)$ и убывает на $(-3; 0]$;

в) $\left( -\frac{2\pi}{3}; \frac{5\pi}{3} \right)$;

Рассмотрим функцию $y = \cos x$:

• Возрастает на $\left( -\frac{\pi}{3}; 0 \right]$ и убывает на $\left[ 0; \frac{5\pi}{6} \right)$;

Значит функция $y = -\cos x$:

• Возрастает на $\left[ 0; \frac{5\pi}{6} \right)$ и убывает на $\left( -\frac{\pi}{3}; 0 \right]$;

Тогда данная функция:

• Возрастает на $\left[ 0; \frac{5\pi}{3} \right)$ и убывает на $\left( -\frac{2\pi}{3}; 0 \right]$;

г) $(3; 9)$;

Рассмотрим функцию $y = \cos x$:

• Возрастает на $[\pi; 4,5)$ и убывает на $(1,5; \pi]$;

Значит функция $y = -\cos x$:

• Возрастает на $(1,5; \pi]$ и убывает на $[\pi; 4,5)$;

Тогда данная функция:

• Возрастает на $(3; 2\pi]$ и убывает на $[2\pi; 9)$

Общие шаги для решения

1. Вычислим производную функции $y = -2 \cos \frac{x}{2}$:
   Для этого применим правило дифференцирования сложной функции.

   Производная косинуса: $\frac{d}{dx}(\cos u) = -\sin u \cdot \frac{du}{dx}$, где $u = \frac{x}{2}$.

   Тогда:

   $$y’ = \frac{d}{dx}\left(-2 \cos \frac{x}{2}\right) = 2 \cdot \sin \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} = \sin \frac{x}{2}.$$

2. Исследуем знаки производной:
   Функция возрастает, если её производная положительна, и убывает, если производная отрицательна. Необходимо найти интервалы, где $y’ = \sin \frac{x}{2}$ меняет знак.
3. Анализируем монотонность на каждом из предложенных промежутков.

а) $\left[ 0; \frac{5\pi}{2} \right]$

Нам нужно исследовать знаки производной $y’ = \sin \frac{x}{2}$ на интервале $\left[ 0; \frac{5\pi}{2} \right]$.

• $\sin \frac{x}{2} = 0$, когда $\frac{x}{2} = k\pi$, где $k$ — целое число. Следовательно, $x = 2k\pi$.
• На интервале $\left[ 0; \frac{5\pi}{2} \right]$ мы получаем следующие значения $x$, где $\sin \frac{x}{2} = 0$:
  • $x = 0$
  • $x = 2\pi$

Теперь разбиение на промежутки:

• $\left[ 0; 2\pi \right]$: $\sin \frac{x}{2}$ положительна, функция возрастает.
• $\left[ 2\pi; \frac{5\pi}{2} \right]$: $\sin \frac{x}{2}$ отрицательна, функция убывает.

Итак, на интервале $\left[ 0; \frac{5\pi}{2} \right]$:

• Функция возрастает на $\left[ 0; 2\pi \right]$.
• Функция убывает на $\left[ 2\pi; \frac{5\pi}{2} \right]$.

б) $(-3; 2)$

Для этого промежутка также исследуем знаки производной $y’ = \sin \frac{x}{2}$ на интервале $(-3; 2)$.

• $\sin \frac{x}{2} = 0$, когда $\frac{x}{2} = k\pi$, т.е. $x = 2k\pi$.

Для интервала $(-3; 2)$ проверим, когда $\sin \frac{x}{2} = 0$:

• $x = 0$.

Разбиение на интервалы:

• $(-3; 0)$: $\sin \frac{x}{2}$ отрицательна, функция убывает.
• $(0; 2)$: $\sin \frac{x}{2}$ положительна, функция возрастает.

Итак, на интервале $(-3; 2)$:

• Функция убывает на $(-3; 0)$.
• Функция возрастает на $(0; 2)$.

в) $\left( -\frac{2\pi}{3}; \frac{5\pi}{3} \right)$

Для этого промежутка снова исследуем знаки производной $y’ = \sin \frac{x}{2}$ на интервале $\left( -\frac{2\pi}{3}; \frac{5\pi}{3} \right)$.

• $\sin \frac{x}{2} = 0$, когда $\frac{x}{2} = k\pi$, т.е. $x = 2k\pi$.

На интервале $\left( -\frac{2\pi}{3}; \frac{5\pi}{3} \right)$ получаем следующие значения $x$, где $\sin \frac{x}{2} = 0$:

• $x = 0$.

Разбиение на интервалы:

• $\left( -\frac{2\pi}{3}; 0 \right)$: $\sin \frac{x}{2}$ отрицательна, функция убывает.
• $\left( 0; \frac{5\pi}{3} \right)$: $\sin \frac{x}{2}$ положительна, функция возрастает.

Итак, на интервале $\left( -\frac{2\pi}{3}; \frac{5\pi}{3} \right)$:

• Функция убывает на $\left( -\frac{2\pi}{3}; 0 \right)$.
• Функция возрастает на $\left( 0; \frac{5\pi}{3} \right)$.

г) $(3; 9)$

Для этого промежутка исследуем знаки производной $y’ = \sin \frac{x}{2}$ на интервале $(3; 9)$.

• $\sin \frac{x}{2} = 0$, когда $\frac{x}{2} = k\pi$, т.е. $x = 2k\pi$.

На интервале $(3; 9)$ получаем следующие значения $x$, где $\sin \frac{x}{2} = 0$:

• $x = 2\pi$, $x = 4\pi$.

Разбиение на интервалы:

• $(3; 2\pi)$: $\sin \frac{x}{2}$ положительна, функция возрастает.
• $(2\pi; 9)$: $\sin \frac{x}{2}$ отрицательна, функция убывает.

Итак, на интервале $(3; 9)$:

• Функция возрастает на $(3; 2\pi)$.
• Функция убывает на $(2\pi; 9)$.