ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 18.14 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Ha каких промежутках функция $y = 1,5 \cos \frac{3x}{2}$:

а) возрастает;

б) убывает?

На каких промежутках функция $y = 1,5 \cos \frac{3x}{2}$:

а) Возрастает;

Функция $y = \cos x$ возрастает на отрезке:
$\pi \leq x \leq 2\pi;$
$\pi + 2\pi n \leq x \leq 2\pi + 2\pi n;$

Значит данная функция возрастает на отрезке:
$\frac{2}{3}(\pi + 2\pi n) \leq x \leq \frac{2}{3}(2\pi + 2\pi n);$
$\frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi n}{3} \leq x \leq \frac{4\pi}{3} + \frac{4\pi n}{3};$

б) Убывает;

Функция $y = \cos x$ убывает на отрезке:
$0 \leq x \leq \pi;$
$2\pi n \leq x \leq \pi + 2\pi n;$

Значит данная функция убывает на отрезке:
$\frac{2}{3}(2\pi n) \leq x \leq \frac{2}{3}(\pi + 2\pi n);$
$\frac{4\pi n}{3} \leq x \leq \frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi n}{3};$

Анализ функции $y = 1,5 \cos \frac{3x}{2}$

Прежде всего, функция, с которой мы работаем, это трансформированная косинусоида. Давайте рассмотрим ее структуру:

$$y = 1,5 \cos \frac{3x}{2}.$$

• $\cos$ — это стандартная косинусоидальная функция.
• Коэффициент $\frac{3x}{2}$ в аргументе функции изменяет период и фазу графика функции. Он влияет на частоту колебаний, ускоряя или замедляя их.
• Множитель 1,5 растягивает график функции по вертикали.

Шаг 1: Период функции

Чтобы вычислить период функции $y = 1,5 \cos \frac{3x}{2}$, воспользуемся формулой для периода косинусоиды:

$$T = \frac{2\pi}{|k|},$$

где $k$ — коэффициент перед $x$ в аргументе косинуса. В нашем случае $k = \frac{3}{2}$, поэтому период будет:

$$T = \frac{2\pi}{\frac{3}{2}} = \frac{4\pi}{3}.$$

То есть, функция $y = 1,5 \cos \frac{3x}{2}$ будет повторяться каждые $\frac{4\pi}{3}$.

Шаг 2: Поведение функции на одном периоде

Функция $y = \cos x$ возрастает на интервале от $0$ до $\pi$, а убывает на интервале от $\pi$ до $2\pi$. Для функции $y = \cos \left( \frac{3x}{2} \right)$ аналогичные интервалы сдвигаются в зависимости от коэффициента $\frac{3}{2}$.

Преобразование интервалов

Мы знаем, что функция $\cos x$ возрастает на интервале $[0, \pi]$ и убывает на интервале $[\pi, 2\pi]$. Теперь нам нужно перевести эти интервалы для функции $y = \cos \frac{3x}{2}$.

• Возрастает на интервале $\left[ 0, \pi \right]$:

  $$\cos \left( \frac{3x}{2} \right) \text{ возрастает на } \left[ \frac{2}{3} \cdot 0, \frac{2}{3} \cdot \pi \right] = [0, \frac{2\pi}{3}].$$

• Убывает на интервале $\left[ \pi, 2\pi \right]$:

  $$\cos \left( \frac{3x}{2} \right) \text{ убывает на } \left[ \frac{2}{3} \cdot \pi, \frac{2}{3} \cdot 2\pi \right] = [\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}].$$

Окончательное решение

Теперь, когда мы определили, как функция ведет себя на одном интервале, давайте обобщим это для всех $n$, где $n$ — целое число, так как период функции равен $\frac{4\pi}{3}$.

• Возрастание функции:
  Функция будет возрастать на интервале:

  $$\frac{2}{3}(\pi + 2\pi n) \leq x \leq \frac{2}{3}(2\pi + 2\pi n),$$

  что можно записать как:

  $$\frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi n}{3} \leq x \leq \frac{4\pi}{3} + \frac{4\pi n}{3}.$$

• Убывание функции:
  Функция будет убывать на интервале:

  $$\frac{2}{3}(2\pi n) \leq x \leq \frac{2}{3}(\pi + 2\pi n),$$

  что можно записать как:

  $$\frac{4\pi n}{3} \leq x \leq \frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi n}{3}.$$

Ответ:

а) Функция возрастает на интервалах:

$$\frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi n}{3} \leq x \leq \frac{4\pi}{3} + \frac{4\pi n}{3}.$$

б) Функция убывает на интервалах:

$$\frac{4\pi n}{3} \leq x \leq \frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi n}{3}.$$